Question

Пожалуйста, помогите решить дифф. уравнение xy'-y=x*ctg(y/x) с пошаговым решением.

Answer 1

$xy'-y=x\cdot ctg\frac{y}{x}\\\\y'=\frac{y}{x}+ctg\frac{y}{x}\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=tx\; ,\; \; y'=t'x+t\\\\t'x+t=t+ctgt\\\\t'=\frac{ctgt}{x}\; ,\; \; \; \frac{dt}{dx}=\frac{ctgt}{x}\\\\\int \frac{dt}{ctgt}=\int \frac{dx}{x}\\\\\int \frac{sint\cdot dt}{cost}=\int \frac{dx}{x}\; \; ,\; \; \int \frac{-d(cost)}{cost}=\int\frac{dx}{x} \\\\\-ln|cost|=ln|x|+lnC\\\\cost=Cx\\\\cos \frac{y}{x}=Cx$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Для его решения мы воспользуемся методом вариации постоянной.

Шаг 1: Преобразуем данное уравнение, чтобы оно приняло стандартную форму для метода вариации постоянной. Для этого выведем все слагаемые, содержащие y' на левую сторону уравнения: xy' - y = x * ctg(y/x) + c.

Шаг 2: Записываем общее решение соответствующего однородного уравнения. Однородное уравнение получается приравнивании правой части к 0: xy' - y = 0. Оно имеет вид y' - y/x = 0. Для его решения применяем метод переменных.

Шаг 3: Представляем решение однородного уравнения в виде y_0 = x * C, где C - произвольная константа.

Шаг 4: Находим частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянной. Пусть y_ч = u(x) * x. Тогда y_ч' = u(x) + u'(x) * x.

Подставляем найденные значения в исходное уравнение: x(u(x) + u'(x) * x) - u(x) * x = x * ctg(u(x)) + c.

Упрощаем выражение, сокращая x на обеих сторонах уравнения: u(x) + u'(x) * x - u(x) = ctg(u(x)) + c.

Убираем одинаковые слагаемые: u'(x) * x = ctg(u(x)) + c.

Разделяем переменные и интегрируем: (u(x))' * x = ctg(u(x)) + c.

Интегрируем по обеим сторонам: ∫(u(x))' * x dx = ∫(ctg(u(x)) + c) dx.

Левую часть можно интегрировать по методу частей: ∫(u(x))' * x dx = x * u(x) - ∫u(x) dx.

Получаем: x * u(x) - ∫u(x) dx = ∫(ctg(u(x)) + c) dx.

Интегрируем правую часть по переменной x: x * u(x) - ∫u(x) dx = ∫ctg(u(x)) dx + ∫c dx.

Интеграл ∫u(x) dx равен u(x) * x + C_1, где C_1 - произвольная константа.

Тогда получаем: x * u(x) - u(x) * x - C_1 = ∫ctg(u(x)) dx + c * x + C_2, где C_2 - произвольная константа.

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем: -C_1 = ∫ctg(u(x)) dx + c * x + C_2.

Представляем ∫ctg(u(x)) dx в виде ∫ctg(u(x)) * u'(x) [u(x)]' dx. Так как ∫ctg(u(x)) * u'(x) dx = ln|sin(u(x))| + C_3, где C_3 - произвольная константа, получаем: -C_1 = ln|sin(u(x))| + C_3 + c * x + C_2.

Шаг 5: Формируем общее решение неоднородного уравнения, объединяя решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения: y(x) = y_0 + y_ч = x * C + x * u(x), где u(x) равно решению уравнения: -C_1 = ln|sin(u(x))| + C_3 + c * x + C_2.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = x * C + x * u(x), где u(x) удовлетворяет уравнению -C_1 = ln|sin(u(x))| + C_3 + c * x + C_2.