Question

Розв’язати нерівність (3x-1)^2-(x-8)(x+4>43

Answer 1

8x²−2x+33>43⇒8x²−2x+33−43>0⇒8x²−2x−10>0
D=324
$x1,2= \frac{2б \sqrt{324} }{16} = \frac{2б18}{16} =$
x1=1 1/4 ; x2=-1

x∈(−∞;−1) ∪ (1 1/4;+∞)

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності скористаємося кроками:

1. Розв'яжемо рівняння (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) = 43. 2. Знайдемо корені цього рівняння. 3. Проведемо аналіз нерівності в залежності від знаків у виразі.

Розв'язання рівняння (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) = 43

Розглядаємо рівняння (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) = 43. Розгорнемо квадрат додатку (3x-1)^2 та помножимо вирази (x-8) і (x+4):

(3x-1)^2 = (3x-1)(3x-1) = 9x^2 - 6x + 1 (x-8)(x+4) = x^2 + 4x - 8x - 32 = x^2 - 4x - 32

Підставимо це назад у рівняння:

9x^2 - 6x + 1 - (x^2 - 4x - 32) = 43 9x^2 - 6x + 1 - x^2 + 4x + 32 = 43 8x^2 - 2x + 33 = 43 8x^2 - 2x - 10 = 0

Знаходження коренів рівняння

Для знаходження коренів рівняння 8x^2 - 2x - 10 = 0 скористаємося квадратним дискримінантом:

D = b^2 - 4ac

де a = 8, b = -2, c = -10.

D = (-2)^2 - 4*8*(-10) = 4 + 320 = 324

Знайдемо корені рівняння за формулою:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-2) ± √324) / (2*8) x = (2 ± 18) / 16 x₁ = (2 + 18) / 16 = 20 / 16 = 5/4 x₂ = (2 - 18) / 16 = -16 / 16 = -1

Таким чином, маємо два корені рівняння: x₁ = 5/4 та x₂ = -1.

Аналіз нерівності

Тепер проаналізуємо нерівність в залежності від знаків у виразі (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) - 43.

Розглянемо три інтервали: x < -1, -1 < x < 5/4, x > 5/4.

1. Для x < -1: Підставимо x = -2 у вираз (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) - 43: (3(-2)-1)^2 - ((-2)-8)((-2)+4) - 43 = 49 Отже, нерівність виконується для x < -1.

2. Для -1 < x < 5/4: Підставимо x = 0 у вираз (3x-1)^2 - (x-8)(x+4) - 43: (3(0)-1)^2 - ((0)-8)((0)+4) - 43 = -20 Отже, нерівність не виконується для -1 < x < 5/4.

3. Для x > 5/4: Підставим