Question

При якому значенні параметра а сума квадратів коренів рівняння x^2+(a-4)x-2a-1=0 приймає найменше значення?

Answer 1

X²+(a-4)x-2a-1=0
Чтобы уравнение имело два решения, нужно Д>0
Д=(а-4)²-4(-2а-1)=а²-8а+16+8а+4=а²+20
а²+20>0
а²>-20 выполняется при любом а.
Рассмотрим (х1+х2)²=х1²+2х1х2+х2²=х1²+х2²+2х1х2 от сюда
х1²+х2²=(х1+х2)²-2х1х2
По т. Виета
х1+х2=-(а-4)=4-а
х1х2=-2а-1 подставим в выражение
х1²+х2²=(4-а)²-2(-2а-1)=
=16-8а+а²+4а+2=а²-4а+18.
Нужно найти минимальное значение найденного выражения, пусть задана функция
у=а²-4а+18
Графиком данной функции является парабола, а наименьшее значение функции, то есть сумма квадратов корней уравнения, будет в вершине параболы при а=-(-4)/2*1=2(формула для нахождения координаты х вершины параболы х=-b/2a), y min=2²-4*2+18=14.
Ответ: а=2

Answer 2

Спершу знайдемо корені рівняння x^2 + (a-4)x - 2a-1 = 0, використовуючи квадратне рівняння. Корені рівняння задовольняють наступній формулі:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

У вас a = 1, b = a - 4, і c = -2a - 1. Підставимо ці значення у формулу коренів:

x = (-(a-4) ± √((a-4)² - 4(1)(-2a-1))) / (2(1)).

x = (-(a-4) ± √(a² - 8a + 16 + 8a + 4)) / 2.

x = (-(a-4) ± √(a² + 20)) / 2.

Тепер ми можемо знайти суму квадратів цих коренів і виразити її як функцію параметра a:

S = [(x₁)² + (x₂)²] = [(1/4) * ((a-4)² + (a-4)² + 2(a² + 20))].

S = (1/4) * (2(a-4)² + 2(a² + 20)).

S = (1/2) * (a-4)² + (a² + 20).

Тепер нам потрібно знайти значення параметра a, при якому сума квадратів коренів приймає найменше значення. Для цього ми можемо взяти похідну суми S за відносною до параметра a і прирівняти її до нуля:

dS/da = 2(a-4) + 2a.

Прирівнюючи до нуля, отримуємо:

2(a-4) + 2a = 0.

2a - 8 + 2a = 0.

4a - 8 = 0.

4a = 8.

a = 2.

Отже, сума квадратів коренів рівняння x^2 + (a-4)x - 2a-1 = 0 приймає найменше значення при a = 2.