Question

Найти наибольшее значение: 12sin(a)–5cos(a)P.S. решение, пожалуйста, максимально подробное.

Answer 1

12sina-5cosa=13(12/13*sina-5/13*cosa)
с=√(12²+5²)=√(144+25)
=√169=13

sinb=12/13
cosb=5/13
13(sinb*sina-cosb*cosa)=
-13(cosb*cosa-sinb*sina)=-13cos(a+b)
cos(a+b)€[-1;1]
наибольшее значение 13

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения 12sin(a) - 5cos(a), мы можем воспользоваться методом нахождения экстремумов функции. Экстремумы происходят в точках, где производная функции равна нулю. Поэтому первым шагом будет нахождение производной данной функции.

Дано: f(a) = 12sin(a) - 5cos(a)

1. Найдем производную функции f(a) по переменной a: f'(a) = d/dx (12sin(a) - 5cos(a))

Для нахождения производной синуса и косинуса по переменной a, мы будем использовать правила дифференцирования:

d/dx(sin(a)) = cos(a) d/dx(cos(a)) = -sin(a)

Теперь вычислим производную f(a):

f'(a) = 12 * cos(a) - 5 * (-sin(a)) f'(a) = 12 * cos(a) + 5sin(a)

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

12 * cos(a) + 5sin(a) = 0

Это уравнение имеет множество решений, так как sin(a) и cos(a) могут принимать различные значения на интервале [0, 2π]. Давайте найдем одно из таких решений.

3. Решение уравнения:

12 * cos(a) + 5sin(a) = 0

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

12 * cos(a) = -5sin(a)

Разделим обе стороны на cos(a):

12 = -5 * (sin(a)/cos(a))

12 = -5 * tan(a)

Теперь найдем значение a, для которого выполняется это уравнение:

tan(a) = -12/5

Чтобы найти a, возьмем арктангенс обеих сторон:

a = arctan(-12/5)

Вычислим a, используя арктангенс:

a ≈ -1.176

4. Теперь у нас есть значение a, для которого производная f'(a) равна нулю. Это один из кандидатов на максимальное значение функции f(a). Однако, чтобы убедиться, что это действительно максимум, нам нужно проверить знак второй производной.

5. Найдем вторую производную функции f(a):

f''(a) = d^2/dx^2 (12sin(a) - 5cos(a))

Для нахождения второй производной синуса и косинуса, снова используем правила дифференцирования:

d^2/dx^2(sin(a)) = -sin(a) d^2/dx^2(cos(a)) = -cos(a)

Теперь вычислим вторую производную f(a):

f''(a) = -12sin(a) - 5cos(a)

6. Оценка знака второй производной:

Для a ≈ -1.176, у нас есть:

f''(a) ≈ -12sin(-1.176) - 5cos(-1.176)

Для оценки знака этой величины, мы видим, что sin(-1.176) и cos(-1.176) оба меньше нуля (так как они отрицательны во втором и третьем квадрантах на плоскости), поэтому f''(a) > 0 (поскольку умножение отрицательных чисел на отрицательные дает положительный результат).

Таким образом, при a ≈ -1.176 у нас есть локальный минимум функции f(a).

7. Чтобы найти максимальное значение функции f(a), нужно рассмотреть значение функции в окрестности найденной точки минимума и на границах интервала [0, 2π]. Выбираем максимальное значение из всех этих точек.

8. Вычислим f(a) в найденной точке a ≈ -1.176:

f(-1.176) = 12sin(-1.176) - 5cos(-1.176)

Теперь оценим значение функции на границах интервала [0, 2π], т.е., при a = 0 и a = 2π:

f(0) = 12sin(0) - 5cos(0) = 0 - 5(-1) = 5 f(2π) = 12sin(2π) - 5cos(2π) = 0 - 5(1) = -5

Сравнив значения функции, мы видим, что f(-1.176) ≈ 10.607 (около 10.607) - это наибольшее значение на интервале [0, 2π].

Таким образом, наибольшее значение функции 12sin(a) - 5cos(a) на интервале [0, 2π] равно приближенно 10.607 и достигается при a ≈ -1.176 радиан (или в других словах, при a ≈ -67.55 градусов).