Question

Помогите пожалуйста. Сколько решений уравнения 12sin x + 5cos ( x+ π/6) = √109 Принадлежит промежутку [ 11π, 2017π)?

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Уравнение 12sin(x) + 5cos(x + π/6) = √109 имеет несколько решений. Чтобы найти эти решения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса.

Первый шаг: Приведение к одной функции

Для начала, давайте приведем уравнение к одной функции. Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) для преобразования уравнения. Применим это тождество ко второму слагаемому:

12sin(x) + 5cos(x + π/6) = √109 12sin(x) + 5(cos(x)cos(π/6) - sin(x)sin(π/6)) = √109 12sin(x) + 5(cos(x) * √3/2 - sin(x) * 1/2) = √109

Теперь у нас есть уравнение с одной функцией.

Второй шаг: Приведение к общему знаменателю

Чтобы избавиться от дробей в уравнении, мы можем умножить все члены уравнения на 2:

24sin(x) + 10cos(x) * √3 - 5sin(x) = 2√109

Третий шаг: Группировка слагаемых

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые синуса и косинуса:

24sin(x) - 5sin(x) + 10cos(x) * √3 = 2√109

Четвертый шаг: Применение тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b)/2)cos((a - b)/2) и cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2) для преобразования уравнения:

19sin(x) + 10cos(x) * √3 = 2√109

Пятый шаг: Использование свойств функций синуса и косинуса

Мы можем использовать свойства функций синуса и косинуса, чтобы преобразовать уравнение:

19sin(x) + 10cos(x) * √3 = 2√109 (19sin(x) + 10cos(x) * √3)^2 = (2√109)^2 361sin^2(x) + 380sin(x)cos(x) * √3 + 300cos^2(x) = 436

Шестой шаг: Преобразование уравнения

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для преобразования уравнения:

361sin^2(x) + 380sin(x)cos(x) * √3 + 300cos^2(x) = 436 361(1 - cos^2(x)) + 380sin(x)cos(x) * √3 + 300cos^2(x) = 436 361 - 361cos^2(x) + 380sin(x)cos(x) * √3 + 300cos^2(x) = 436 361 + (380sin(x)cos(x) * √3 - 361cos^2(x) + 300cos^2(x)) = 436 361 + (380sin(x)cos(x) * √3 - 61cos^2(x)) = 436

Седьмой шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду, объединив все слагаемые в одну сторону:

380sin(x)cos(x) * √3 - 61cos^2(x) = 436 - 361 380sin(x)cos(x) * √3 - 61cos^2(x) = 75

Восьмой шаг: Применение тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) для преобразования уравнения:

2(190sin(2x) * √3 - 61cos^2(x)) = 75

Девятый шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

380sin(2x) * √3 - 122cos^2(x) = 75

Десятый шаг: Решение квадратного уравнения

Чтобы найти решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, такие как дискриминант и формулы Виета. Однако, для более точного ответа, я рекомендую использовать численные методы или калькулятор, чтобы найти значения x.

Примечание: Я не могу предоставить конкретные значения x без использования численных методов или калькулятора. Однако, я надеюсь, что эти шаги помогут вам решить уравнение 12sin(x) + 5cos(x + π/6) = √109 и найти значения x, принадлежащие промежутку [11π, 2017π).