Question

Решите уравнение 10класс а) sinx-2cosx=o б)3cos^2x+4cosx-7=0

Answer 1

$1. \ \sin x-2cos x=0 \\ tanx = 2 \\ x = \pi n + arctan2 \\ n \in Z$


$2. \ 3cos^2x+4cosx-7=0 \\ cosx=y \\ 3y^2+4y-7=0 \\ D = 16+84 = 100 \\ y_1 = \frac{-4+10}{6} = 1 \\ y_2 = \frac{-4-10}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} = -2 \frac{1}{3}$
Второй корень не подходит, т.к.  $-1 \leq cosx \leq 1$
$cosx = y \\ cosx = 1 \\ x = 2\pi n \\ n \in Z$

Answer 2

sinx-2cosx=o/:cosx
tgx-2=0
tgx=2
x=arctg2+piK, K∈Z

3cos^2x+4cosx-7=0
Пусть cosx=t
3t^2+4t-7=0
D=16-4*3*(-7)=16+84= корень из 100=10
t1=-4+10/6=1
t2=-4-10/6=-14/6
cosx=1
x=2piK, K∈Z

Answer 3

a) Давайте решим уравнение sin(x) - 2cos(x) = 0:

sin(x) - 2cos(x) = 0

Перепишем sin(x) в терминах cos(x), используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь подставим это в уравнение:

1 - cos^2(x) - 2cos(x) = 0

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2, и c = -1.

D = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8

Теперь используем квадратное уравнение, чтобы найти cos(x):

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

cos(x) = (-2 ± √8) / (2)

cos(x) = (-2 ± 2√2) / 2

cos(x) = -1 ± √2

Теперь у нас есть два возможных значения для cos(x):

1. cos(x) = -1 + √2
2. cos(x) = -1 - √2

Теперь найдем соответствующие значения для sin(x) с использованием исходного уравнения sin(x) = 1 - cos^2(x):

1. sin(x) = 1 - (-1 + √2)^2 = 1 - (1 - 2√2 + 2) = 2√2
2. sin(x) = 1 - (-1 - √2)^2 = 1 - (1 + 2√2 + 2) = -2√2

Теперь мы нашли две пары значений для (sin(x), cos(x)):

1. (2√2, -1 + √2)
2. (-2√2, -1 - √2)

b) Теперь решим уравнение 3cos^2(x) + 4cos(x) - 7 = 0. Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться квадратным уравнением. Давайте обозначим cos(x) как t:

3t^2 + 4t - 7 = 0

Теперь используем дискриминант, чтобы найти значения t:

D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 4, и c = -7.

D = 4^2 - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100

Теперь используем квадратное уравнение, чтобы найти t:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-4 ± √100) / (2(3))

t = (-4 ± 10) / 6

Теперь найдем два возможных значения для t:

1. t = (-4 + 10) / 6 = 6 / 6 = 1
2. t = (-4 - 10) / 6 = -14 / 6 = -7/3

Теперь у нас есть два значения для t. Чтобы найти значения cos(x), мы можем вернуться к исходной переменной:

1. cos(x) = 1
2. cos(x) = -7/3

Теперь у нас есть две пары значений для (cos(x), sin(x)):

1. (1, sin(x))
2. (-7/3, sin(x))

Чтобы найти соответствующие значения для sin(x), мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1. sin(x) = √(1 - cos^2(x)) = √(1 - 1) = 0
2. sin(x) = √(1 - (-7/3)^2) = √(1 - 49/9) = √(9/9 - 49/9) = √(-40/9)

Таким образом, вторая пара значений для (cos(x), sin(x)) будет:

2. (-7/3, √(-40/9))