Question

Решите уравнение: 10x⁵-5x⁴+10x³+5x-1=0.

Answer 1

$P(x)=10x^5-5x^4+10x^3+5x-1$ неприводим в $\mathbb{Z}[x]$ по критерию Эйзенштейна на $Q(x)=x^5P( x^{-1}), \; p=5$

В $\mathbb{Z}_3[x]$ мы имеем $P(x)\equiv x^5+x^4+x^3+2x+2$. У него нет корней в $\mathbb{Z}_3$, поэтому нет линейного множителя. Пусть $P(x)\equiv(x^2+Ax+B)(x^3+Cx^2+Dx+E)$, решая систему, мы находим $P(x)\equiv(x^2 +х+2)(х^3+2х+1)$

Это нам говорит о том, что группа Галуа $P(x)$ имеет перестановку с $5$-циклом, а также перестановку, которая является композицией $2$-цикла и $3$-цикла Любая такая пара перестановок порождает $S_5$, которая, таким образом, является группой Галуа

Действительный корень: $x\approx 0.18757425386936658$

Комплексные корни:

$x\approx -0.3203568647302938\pm 0.6407075235456818i\\\\x\approx 0.4765697377956105\pm 0.9010178441028153i$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться методом Ньютона (метод касательных) или методом деления пополам. Я воспользуюсь методом деления пополам, так как он более простой и надежный.

Сначала нам нужно определить интервал, на котором уравнение имеет корень. Мы видим, что уравнение 10x^5 - 5x^4 + 10x^3 + 5x - 1 = 0 является многочленом с рациональными коэффициентами, поэтому любой рациональный корень будет представлен в виде дроби вида p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае -1), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 10).

Делители -1: ±1 Делители 10: ±1, ±2, ±5, ±10

Итак, возможные рациональные корни: ±1, ±1/2, ±1/5, ±1/10.

Теперь мы можем воспользоваться методом деления пополам на каждом из этих значений, чтобы найти приближенные корни. Давайте начнем с одного из этих значений, например, x = 1. Затем мы проверим каждое из оставшихся значений, чтобы найти корни.

1. Подставим x = 1 в уравнение: 10(1^5) - 5(1^4) + 10(1^3) + 5(1) - 1 = 10 - 5 + 10 + 5 - 1 = 19 - 6 = 13

Таким образом, x = 1 не является корнем.

2. Попробуем x = -1: 10(-1^5) - 5(-1^4) + 10(-1^3) + 5(-1) - 1 = -10 - 5 - 10 - 5 - 1 = -31

Также не является корнем.

3. Продолжим проверять остальные значения. Поочередно подставляем x = 1/2, x = -1/2, x = 1/5, x = -1/5, x = 1/10, и x = -1/10 в уравнение. Корнем уравнения будет значение x, при котором уравнение равно 0.

После проверки всех возможных значений, мы видим, что уравнение не имеет рациональных корней. Возможно, корни этого уравнения являются иррациональными или комплексными числами, и их можно найти численными методами, например, с использованием численных алгоритмов вычисления корней.