Question

Найдите сумму значений а, при каждом из которых уравнение (а-1)*х^2+2ах+2+а=0 имеет единственный корень. Ответ(сумма значений)

Answer 1

Уравнение имеет единственный корень(квадратное), когда дискриминант равен 0
D=(2a)^2-4(a-1)(2+a)=0 = \\
8-4a \\  a = 2; 
Или когда оно линейное, а = 1: x = -1,5.
И получается, что сумма значений а:
1+2=3

Answer 2

Чтобы уравнение $(a-1)x^2 + 2ax + 2 + a = 0$ имело единственный корень, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В данном уравнении:

$a = a - 1$ $b = 2a$ $c = 2 + a$

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = (2a)^2 - 4(a-1)(2 + a)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 - a)(2 + a)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 - a)(2 + a)$

$D = 4a^2 - 4(2a^3 - a^2 - 2a^2 + a)$

$D = 4a^2 - 4(2a^3 - 3a^2 + a)$

$D = 4a^2 - 8a^3 + 12a^2 - 4a$

Теперь у нас есть выражение для дискриминанта. Чтобы уравнение имело единственный корень, этот дискриминант должен быть равен нулю:

$4a^2 - 8a^3 + 12a^2 - 4a = 0$

Упростим это уравнение:

$4a^2 - 8a^3 + 12a^2 - 4a = 0$

$16a^2 - 8a^3 + 12a^2 - 4a = 0$

$28a^2 - 8a^3 - 4a = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение. Для нахождения суммы значений $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, найдем корни уравнения:

$28a^2 - 8a^3 - 4a = 0$

$4a(7a^2 - 2a - 1) = 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $7a^2 - 2a - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(7)(-1) = 4 + 28 = 32$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{32}}{14}$ $a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{32}}{14}$

Теперь суммируем эти значения $a$:

$a_1 + a_2 = \frac{2 + \sqrt{32}}{14} + \frac{2 - \sqrt{32}}{14}$