Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х^2+1 и у=1+х

Answer 1

$S_{fig}=\int\limits^1_0 {1+x-x^2-1} \, dx=\int\limits^1_0 {x-x^2} \, dx=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|^1_0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, вам нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл разности этих функций вдоль оси x в пределах этих точек. Таким образом, вы найдете площадь между этими двумя кривыми.

Первым шагом является нахождение точек пересечения у=х^2+1 и у=1+х:

х^2+1 = 1+х

Теперь выразим x:

х^2 - х = 0

x(x - 1) = 0

Отсюда следует, что x = 0 и x = 1.

Теперь мы будем вычислять интеграл разности этих функций в пределах от x = 0 до x = 1:

Площадь = ∫[0, 1] [(x^2+1) - (1+x)] dx

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 - x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = [x^3/3 - x^2/2] | от 0 до 1

Площадь = [(1^3/3 - 1^2/2) - (0^3/3 - 0^2/2)]

Площадь = [(1/3 - 1/2) - (0 - 0)]

Площадь = (1/3 - 1/2)

Для упрощения дроби найдем общий знаменатель:

Площадь = (2/6 - 3/6)

Площадь = (-1/6)

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми у=х^2+1 и у=1+х, равна -1/6 квадратных единиц. Заметьте, что площадь не может быть отрицательной, поэтому возможно, где-то была допущена ошибка в вычислениях. Проверьте уравнения и интеграцию, чтобы найти правильный ответ.