Question

1. Найдите корни уравнения: a) x² - 5x - 24 = 0; б) x² - 13x + 42 = 0; в) 0,5х2 + 2x + 2 = 0; г) 0,1x² - 0,6х + 0,9 = 0.​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация. Пусть дано квадратное уравнение a·x² + b·x + c = 0 и D= b²-4·a·c - дискриминант уравнения. Тогда:

а) если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней;

б) если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень:

$\tt x =\dfrac{-b }{2 \cdot a};$

в) если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

$\tt x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{D} }{2 \cdot a}, \;\;\; x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{D} }{2 \cdot a}.$

Решение. Найдём корни уравнений.

a) x² - 5·x - 24 = 0

D = (-5)²-4·1·(-24) = 25+96 = 121 = 11² > 0 - два корня,

$\tt x_1 =\dfrac{5-11}{2 \cdot 1}= \dfrac{-6}{2}=-3, \;\;\; x_2 =\dfrac{5+11}{2 \cdot 1}= \dfrac{8}{2}=4.$

Ответ: {-3; 4}.

б) x² - 13·x + 42 = 0

D = (-13)²-4·1·42 = 169-168 = 1 = 1² > 0 - два корня,

$\tt x_1 =\dfrac{13-1}{2 \cdot 1}= \dfrac{12}{2}=6, \;\;\; x_2 =\dfrac{13+1}{2 \cdot 1}= \dfrac{14}{2}=7.$

Ответ: {6; 7}.

в) 0,5·x² + 2·x + 2 = 0

D = 2²-4·0,5·2 = 4-4 = 0 - единственный корень,

$\tt x =\dfrac{-2}{2 \cdot 0,5}= -\dfrac{2}{1}=-2.$

Ответ: {-2}.

г) 0,1·x² - 0,6·x + 0,9 = 0.

D = (-0,6)²-4·0,1·0,9 = 0,36-0,36 = 0 - единственный корень,

$\tt x =\dfrac{0,6}{2 \cdot 0,1}= \dfrac{0,6}{0,2}=3.$

Ответ: {3}.

#SPJ1

Answer 2

Давайте найдем корни уравнений по очереди:

a) x² - 5x - 24 = 0.

Мы можем решить это уравнение, факторизуя его:

(x - 8)(x + 3) = 0.

Теперь мы имеем два линейных уравнения:

1. x - 8 = 0, отсюда x = 8.
2. x + 3 = 0, отсюда x = -3.

Итак, корни этого уравнения: x₁ = 8 и x₂ = -3.

б) x² - 13x + 42 = 0.

Также факторизуем это уравнение:

(x - 6)(x - 7) = 0.

Теперь два линейных уравнения:

1. x - 6 = 0, отсюда x = 6.
2. x - 7 = 0, отсюда x = 7.

Корни этого уравнения: x₁ = 6 и x₂ = 7.

в) 0,5x² + 2x + 2 = 0.

Это уравнение не факторизуется так же легко, поэтому воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

где a = 0,5, b = 2 и c = 2. Подставим эти значения:

x = (-2 ± √(2² - 4 * 0,5 * 2)) / (2 * 0,5).

x = (-2 ± √(4 - 4)) / 1.

x = (-2 ± √0) / 1.

x = (-2 ± 0) / 1.

Так как дискриминант (под корнем) равен нулю, у нас есть один корень:

x₁ = x₂ = -2.

г) 0,1x² - 0,6x + 0,9 = 0.

Также используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

где a = 0,1, b = -0,6 и c = 0,9. Подставим значения:

x = (0,6 ± √((-0,6)² - 4 * 0,1 * 0,9)) / (2 * 0,1).

x = (0,6 ± √(0,36 - 0,36)) / 0,2.

x = (0,6 ± √0) / 0,2.

x = (0,6 ± 0) / 0,2.

Так как дискриминант равен нулю, у нас также есть один корень:

x₁ = x₂ = 3.

Итак, корни уравнений:

a) x₁ = 8, x₂ = -3. б) x₁ = 6, x₂ = 7. в) x₁ = x₂ = -2. г) x₁ = x₂ = 3.