Question

6. Найдите первообразную F(x) функции y = f(x), график который проходит через точку М(a; b): 1) f(x) = x−2, М(1; -1); 2) f(x) = x−3, М(-1; 0); = 1 3) f(x) = 2 - 4) f(x) = cos² x 2 sin² x 9 П x = 10; = M 2 4 2 (0:1), (75) 0; 2), M (; 4). + 1, x ∈ | 0; М​

Answer 1

Ответ:

Найдем первообразные для каждой из заданных функций и учтем условия, что график проходит через указанную точку \(M(a; b)\):

1) \(f(x) = x - 2\), \(M(1; -1)\):

Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):

\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + C\]

Используя условие \(M(1; -1)\), подставим \(x = 1\) и \(y = -1\), чтобы найти константу \(C\):

\[-1 = \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + C\]

\[-1 = \frac{1}{2} - 2 + C\]

\[C = \frac{1}{2}\]

Итак, первообразная с учетом условия \(M(1; -1)\) равна:

\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{2}\]

2) \(f(x) = x - 3\), \(M(-1; 0)\):

Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):

\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + C\]

Используя условие \(M(-1; 0)\), подставим \(x = -1\) и \(y = 0\), чтобы найти константу \(C\):

\[0 = \frac{1}{2}(-1)^2 - 3(-1) + C\]

\[0 = \frac{1}{2} + 3 + C\]

\[C = -\frac{7}{2}\]

Итак, первообразная с учетом условия \(M(-1; 0)\) равна:

\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}\]

3) \(f(x) = 2 - x^2\):

Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):

\[F(x) = 2x - \frac{1}{3}x^3 + C\]

4) \(f(x) = \cos^2(x) + 2\sin^2(x)\):

Используя тригонометрические тождества, можно преобразить выражение:

\[\cos^2(x) + 2\sin^2(x) = 1 - \sin^2(x) + 2\sin^2(x) = 1 + \sin^2(x)\]

Интегрируем \(1 + \sin^2(x)\) по \(x\):

\[F(x) = x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C\]

5) \(f(x) = \frac{9}{x}\), \(M(10; 2)\):

Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):

\[F(x) = 9\ln(|x|) + C\]

Используя условие \(M(10; 2)\), подставим \(x = 10\) и \(y = 2\), чтобы найти константу \(C\):

\[2 = 9\ln(10) + C\]

\[C = 2 - 9\ln(10)\]

Итак, первообразная с учетом условия \(M(10; 2)\) равна:

\[F(x) = 9\ln(|x|) + 2 - 9\ln(10)\]

Answer 2

Для каждой из заданных функций f(x) и точек M(a, b) мы можем найти первообразную $F(x)$ следующим образом:

1. Для $f(x) = x - 2$, M(1, -1): Интегрируем $f(x)$: $F(x) = \int (x - 2) dx = \frac{x^2}{2} - 2x + C$. Используем точку M(1, -1) для определения константы C: $-1 = \frac{1^2}{2} - 2(1) + C$, отсюда $C = -\frac{5}{2}$. Таким образом, первообразная $F(x)$ для данной функции и точки M(1, -1) равна: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 2x - \frac{5}{2}$.

2. Для $f(x) = x - 3$, M(-1, 0): Интегрируем $f(x)$: $F(x) = \int (x - 3) dx = \frac{x^2}{2} - 3x + C$. Используем точку M(-1, 0) для определения константы C: $0 = \frac{(-1)^2}{2} - 3(-1) + C$, отсюда $C = -\frac{1}{2}$. Таким образом, первообразная $F(x)$ для данной функции и точки M(-1, 0) равна: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 3x - \frac{1}{2}$.

3. Для $f(x) = 2$, M(10, M): Интегрируем константу $f(x)$: $F(x) = \int 2 dx = 2x + C$. Используем точку M(10, M): $M = 2(10) + C$, отсюда $C = M - 20$. Таким образом, первообразная $F(x)$ для данной функции и точки M(10, M) равна: $F(x) = 2x + M - 20$.

4. Для $f(x) = \frac{\cos^2 x}{2\sin^2 x + 9}$, M(0.1, 75): Эта функция является сложной и требует более сложных методов интегрирования. Нахождение первообразной в этом случае может потребовать использование методов частных интегралов или других техник.

Пожалуйста, уточните, какую именно функцию вы хотите интегрировать (3 или 4) и предоставьте дополнительную информацию, если это необходимо.