Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-3x^2-x в точке x0=3

Answer 1

Объяснение:

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 - x в точке x₀ = 3, нам понадобится использовать производную функции.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 1.

Шаг 2: Подставим значение x₀ = 3 в производную, чтобы найти значение производной в точке x₀.

f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 1

= 27 - 18 - 1

= 8.

Шаг 3: Используем полученное значение производной в точке x₀ и точку (x₀, f(x₀)) = (3, f(3)) в уравнении касательной, используя формулу для уравнения прямой y - y₀ = m(x - x₀), где m - значение производной в точке x₀.

y - f(3) = f'(3)(x - 3).

Подставляем значения:

y - f(3) = 8(x - 3).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 - x в точке x₀ = 3 имеет вид:

y - f(3) = 8(x - 3).

Answer 2

Формула уравнения касательной:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Найдём производную:

$f'(x)=3x^2-6x-1$

Найдём f'(x₀):

$f'(3)=3\times3^2-6\times3-1=8$

Найдём f(x₀):

$f(3)=3^3-3\times3^2-3=-3$

Теперь составим уравнение касательной:

$y=-3+8(x-3)\\y=8x-27$

Answer 3

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ можно найти, используя производную функции f(x). Для этого сначала найдем производную f(x):

f(x) = x^3 - 3x^2 - x

f'(x) - производная f(x):

f'(x) = 3x^2 - 6x - 1

Теперь, чтобы найти уравнение касательной в точке x₀ = 3, подставим x₀ = 3 в f'(x):

f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 1 f'(3) = 27 - 18 - 1 f'(3) = 8

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x₀ = 3 равен 8. Теперь мы можем использовать формулу для уравнения прямой:

y - y₁ = m(x - x₁)

где (x₁, y₁) - координаты точки, а m - угловой коэффициент.

Подставляя x₁ = 3, y₁ = f(3) и m = 8:

y - f(3) = 8(x - 3)

Теперь выразим уравнение касательной:

y = 8(x - 3) + f(3)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 - x в точке x₀ = 3:

y = 8(x - 3) + f(3)