Question

Докажите, что xy = yx, используя индуктивную интерпретацию.

Answer 1

Для начала нужно определить, как мы будем интерпретировать утверждение "xy = yx" с помощью индуктивной интерпретации.

Мы можем рассмотреть множество всех возможных комбинаций элементов из множества X и Y, где X и Y - некоторые множества. Обозначим это множество как XY. Для любых x ∈ X и y ∈ Y существуют две возможные комбинации: xy и yx.

Теперь мы можем определить базис для нашей индукции, это будет случай, когда множества X и Y пусты. В этом случае у нас нет никаких элементов, которые могут быть перемножены, поэтому утверждение xy = yx выполняется тождественно.

Предположение: утверждение xy = yx верно для любых множеств X и Y, где |X| = n и |Y| = m, где n и m - произвольные неотрицательные целые числа.

Теперь используем индукционный переход, чтобы доказать, что утверждение также выполняется для множеств X и Y, где |X| = n+1 и |Y| = m+1.

Рассмотрим произвольные элементы x ∈ X, y ∈ Y. Тогда у нас есть четыре возможные комбинации:

1. xy

2. yx

3. x'y (где x' ∈ X\{x})

4. y'x (где y' ∈ Y\{y})

По предположению индукции мы уже знаем, что утверждение xy = yx верно для множеств X\{x} и Y\{y}. Мы можем использовать это утверждение для доказательства перехода.

Сначала рассмотрим случай, когда xy = yx. Тогда мы можем сделать вывод, что x'y = y'x, так как мы можем противопоставить каждую сторону xy и yx соответствующей стороне x'y и y'x. То есть мы меняем порядок комбинаций в одном уравнении и делаем то же самое в другом уравнении.

Теперь рассмотрим случай, когда xy ≠ yx. Тогда мы можем предположить, что x'y = y'x, так как в противном случае общее утверждение xy = yx не могло бы выполняться, поскольку оно означает, что каждая комбинация как xy, так и yx встречается в XY.

Таким образом, мы показали, что утверждение xy = yx выполняется как для базиса, так и для индуктивного перехода. По индукции заключаем, что утверждение xy = yx верно для любых непустых множеств X и Y.

Answer 2

Доказательство равенства $xy = yx$ можно провести, используя индукцию. Предположим, что у нас есть некоторое множество элементов, для которых утверждение $xy = yx$ справедливо. Давайте проверим это утверждение для $n+1$ элемента.

Базовый шаг (n = 1): Для двух элементов $x$ и $y$ в множестве, утверждение $xy = yx$ тривиально проверяется, так как оно является коммутативностью умножения.

Шаг индукции: Предположим, что для $n$ элементов $x_1, x_2, \ldots, x_n$ выполняется $x_1x_2x_3\ldots x_n = x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1$.

Добавим ещё один элемент $x_{n+1}$ к нашему множеству. Мы хотим показать, что утверждение $x_1x_2x_3\ldots x_nx_{n+1} = x_{n+1}x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1$ также справедливо.

Разделим $x_1x_2x_3\ldots x_nx_{n+1}$ на две части: $x_1x_2x_3\ldots x_n$ и $x_{n+1}$. Используя предположение индукции, мы знаем, что $x_1x_2x_3\ldots x_n = x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1$. Поэтому:

$x_1x_2x_3\ldots x_nx_{n+1} = x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1 \cdot x_{n+1}$

Теперь применим коммутативность умножения к $x_n$ и $x_{n+1}$:

$x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1 \cdot x_{n+1} = x_{n+1}x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1$

Таким образом, мы показали, что для $n+1$ элементов утверждение $x_1x_2x_3\ldots x_nx_{n+1} = x_{n+1}x_nx_{n-1}\ldots x_2x_1$ также справедливо.

Итак, по принципу математической индукции, утверждение $xy = yx$ справедливо для любых элементов $x$ и $y$.