Question

Методом мат. индукции, доказать что 21^n + 4^(n+2) делится на 17​

Answer 1

Ответ:

======//

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что выражение \(21^n + 4^{n+2}\) делится на 17 с использованием метода математической индукции, давайте выполним следующие шаги:

Шаг 1: Базовый случай (n=1)

Для начала, давайте проверим базовый случай, когда \(n = 1\):

\[21^1 + 4^{1+2} = 21 + 4^3 = 21 + 64 = 85.\]

Теперь давайте проверим, делится ли 85 на 17. Остаток от деления 85 на 17 равен 0, поскольку \(85 = 17 \cdot 5\). Таким образом, базовый случай выполняется, и \(21^1 + 4^{1+2}\) действительно делится на 17.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого положительного целого числа \(k\) выполняется:

\[21^k + 4^{k+2}\) делится на 17.

То есть, предполагаем, что \(21^k + 4^{k+2} = 17m\), где \(m\) - некоторое целое число.

Шаг 3: Индукционный переход

Теперь докажем, что это утверждение также выполняется для \(k+1\). Для этого рассмотрим:

\[21^{k+1} + 4^{(k+1)+2}.\]

Мы можем переписать это выражение следующим образом:

\[21^{k+1} + 4^{k+3} = 21 \cdot 21^k + 4^3 \cdot 4^k = 21 \cdot (21^k) + 64 \cdot (4^k).\]

Теперь используем предположение индукции: \(21^k + 4^{k+2} = 17m\). Подставляем это в выражение:

\[21 \cdot (21^k) + 64 \cdot (4^k) = 21 \cdot 17m + 64 \cdot 4^k.\]

Теперь факторизуем общий множитель 17:

\[21 \cdot 17m + 64 \cdot 4^k = 17 \cdot (21m) + 64 \cdot 4^k.\]

Мы видим, что это выражение тоже делится на 17, так как мы можем выразить его как произведение 17 на некоторое целое число, \(21m + 64 \cdot 4^k\).

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется для \(k\), то оно также выполняется для \(k+1\). Следовательно, по принципу математической индукции, оно выполняется для всех положительных целых чисел \(n\).

Таким образом, \(21^n + 4^{n+2}\) делится на 17 для всех \(n\).