Question

Решить дифференциальное уравнение:x*y*y'=+2

Answer 1

$xyy'=y^2+2x^2\\ \dfrac{2yy'}{x^2}-\dfrac{2y^2}{x^3}=\dfrac{4}{x}\\ \left[(y^2)'=2yy';\;\;\;\;(\dfrac{1}{x^2})'=-\dfrac{2}{x^3}\right]\\ (y^2*\dfrac{1}{x^2})'=\dfrac{4}{x}\\ \dfrac{y^2}{x^2}=4lnx+C\\ y^2=x^2(4lnx+C)\\ y=\pm x\sqrt{4lnx+C}$

Answer 2

Дифференциальное уравнение вида xyy' = 2 является уравнением, разделяющим переменные. Для его решения мы можем переписать его в следующем виде:

yy' = 2/x

Теперь мы можем разделить переменные, переместив y' на одну сторону уравнения и x на другую сторону:

yy' = 2/x

dy/y = 2/x dx

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(2/x) dx

Левая сторона интеграла даст нам логарифм натуральный модуля y, а правая сторона интеграла даст нам 2ln|x| + C, где C - константа интеграции:

ln|y| = 2ln|x| + C

Теперь можно избавиться от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^(2ln|x| + C)

Теперь используем свойство логарифмов, что e^(ln(a)) = a, чтобы упростить:

|y| = e^(ln|x|^2) * e^C

Теперь объединим константу C и e^(ln|x|^2) вместе в одну константу K:

|y| = K * |x|^2

Здесь K - произвольная постоянная, которую мы можем включить в абсолютное значение. Таким образом, решение дифференциального уравнения:

y = ±Kx^2

Где K - произвольная константа.