Question

10cos2x+3cosx=1 решите уравнение, пожалуйста.

Answer 1

$10cos(2x)+3cos(x)=1\\10cos^2(x)-10sin^2(x)+3cos(x)-sin^2(x)-cos^2(x)=0\\9cos^2(x)-11sin^2(x)+3cos(x)=0\\9cos^2(x)-11(1-cos^2(x))+3cos(x)=0\\cos(x)=t\\9t^2-11(1-t^2)+3t=0\\9t^2-11+11t^2+3t=0\\20t^2+3t-11=0\\D=880+9=889\\t_1= \frac{-3+ \sqrt{889} }{40} \\t_2= \frac{-3- \sqrt{889} }{40} \\cos(x)= \frac{-3+ \sqrt{889} }{40} \\x=+-arccos( \frac{-3+ \sqrt{889} }{40}+2\pi k \\cos(x)= \frac{-3- \sqrt{889} }{40} \\x=+-arccos( \frac{-3- \sqrt{889} }{40} )+2\pi k$
t∈[-1;1]
k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 10cos(2x) + 3cos(x) = 1, давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Мы можем использовать идентичность для удвоенного угла, которая гласит:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь мы можем заменить cos(2x) в уравнении:

10(2cos^2(x) - 1) + 3cos(x) = 1

Теперь распределим и упростим:

20cos^2(x) - 10 + 3cos(x) = 1

Теперь переносим все члены влево:

20cos^2(x) + 3cos(x) - 11 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения:

Для упрощения, давайте представим cos(x) как y:

20y^2 + 3y - 11 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 3^2 - 4 * 20 * (-11) D = 9 + 880 D = 889

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a)

y = (-3 ± √889) / (2 * 20)

y = (-3 ± √889) / 40

Теперь мы имеем два значения для y:

1. y = (-3 + √889) / 40
2. y = (-3 - √889) / 40

Теперь найдем соответствующие значения для cos(x):

1. cos(x) = (-3 + √889) / 40
2. cos(x) = (-3 - √889) / 40

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям косинуса, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

1. x = arccos[(-3 + √889) / 40]
2. x = arccos[(-3 - √889) / 40]

Это даст вам значения углов x. Не забудьте, что в зависимости от контекста, угол x может принимать различные значения в пределах периода тригонометрических функций.