Question

При каких a уравнение 10*5^x-9=6a-a*5^(x+2) не имеет корней? Ответ [-1,5;-0,4]

Answer 1

10*5^x-9=6a-a*5^(x+2)
5^x*(10+25a)=6a+9
5^x=(6a+9)/(10+25a)>0
(6a+9)/(10+25a) > 0
(2a+3)/(2+5a) > 0
решается методом интервалов
неравенство меняет знак при (2a+3) =0 и при (2+5a) = 0
т.е. при a=-3/2 а=-2/5
++++++(-1,5) -----(-0,4)+++++++
при a є [-1,5;-0,4] нет корней уравнения 10*5^x-9=6a-a*5^(x+2)

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра "a" уравнение \(10 \cdot 5^x - 9 = 6a - a \cdot 5^{x+2}\) не имеет корней в интервале \([-1.5, -0.4]\), мы можем воспользоваться теорией уравнений. Для начала преобразуем данное уравнение:

\[10 \cdot 5^x - 9 = 6a - a \cdot 5^{x+2}\]

Сначала выразим общий множитель, который содержит \(5^x\):

\[5^x(10 - a \cdot 5^2) - 9 = 6a\]

Теперь упростим:

\[5^x(10 - 25a) - 9 = 6a\]

Теперь, чтобы узнать, при каких значениях "a" уравнение не имеет корней в интервале \([-1.5, -0.4]\), рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, у нас есть квадратное уравнение вида:

\[5^x(10 - 25a) - 9 = 6a\]

где:

- \(a = -25a\) - \(b = 5^x\) - \(c = -9 - 6a\)

Подставив эти значения в формулу для дискриминанта, получим:

\[D = (5^x)^2 - 4 \cdot (-25a) \cdot (-9 - 6a)\]

Уравнение не имеет корней, если дискриминант \(D\) меньше или равен нулю и при этом \(a\) удовлетворяет условию \(a \in [-1.5, -0.4]\).

Теперь давайте определим условия, при которых \(D \leq 0\). Раскроем \(D\) и упростим выражение:

\[D = 25^{x} - 4 \cdot 25a(9 + 6a) = 25^{x} - 900a - 600a^2\]

Теперь мы можем написать неравенство:

\[25^{x} - 900a - 600a^2 \leq 0\]

Теперь нужно решить это неравенство относительно "a" и проверить, когда оно выполняется в заданном интервале \([-1.5, -0.4]\). Для этого можно использовать математические программы или калькуляторы.

Поиск корней этого неравенства довольно сложная задача, и она может потребовать численных методов. Тем не менее, это даст вам значения "a", при которых уравнение не имеет корней в указанном интервале.