Question

Решите уравнение sin^2x+2sinxcosx-3cos^2x=0

Answer 1

Ответ: π/4 + πk, k ∈ Z; -arctg3 + πn, n ∈ Z.

Объяснение:

sin²x + 2sinx · cosx - 3cos²x = 0 - однородное уравнение и т.к.

sinx ≠ 0 и cosx ≠ 0 одновременно, то разделим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, получим и решим уравнение:

tg²x + 2tgx - 3 = 0,

t = tgx,

t² + 2t - 3 = 0,

D = 2² - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16; √16 = 4;

t₁ = (-2 + 4)/(2 · 1) = 2/2 = 1,

t₂ = (-2 - 4)/(2 · 1) = -6/2 = -3;

1)  tgx = 1 ,                              

   x = arctg1 + πk, k ∈ Z,

   x = π/4 + πk, k ∈ Z;

2)  tgx = -3,                                

   x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z,

   x = -arctg3 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0.

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами для преобразования уравнения. Мы можем использовать тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и заменить 2sin(x)cos(x) на sin(2x):

sin^2(x) + sin(2x) - 3cos^2(x) = 0.

Теперь воспользуемся тождеством cos^2(x) = 1 - sin^2(x) и заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

sin^2(x) + sin(2x) - 3(1 - sin^2(x)) = 0.

Раскроем скобки:

sin^2(x) + sin(2x) - 3 + 3sin^2(x) = 0.

Теперь объединим подобные члены:

4sin^2(x) + sin(2x) - 3 = 0.

Поскольку sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

4sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте представим его в виде квадратного уравнения относительно sin(x):

4sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3 = 0.

4sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) - 3 = 0.

4sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) - sin^2(x) - 3 = 0.

Теперь объединим подобные члены:

(4sin^2(x) - 2sin^2(x)) + (4sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x)) - sin^2(x) - 3 = 0.

2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - sin^2(x) - 3 = 0.

sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3 = 0.

Мы получили тождественное уравнение, которое всегда верно, независимо от значения x. Таким образом, уравнение не имеет конкретных решений.