Question

Докажите по определению, что функция y=1/√x дифференцируема в каждой точке x > 0 .

Answer 1

Пропиши что в корне не бывает отрицательных чисел, то есть нет решения в рациональном ряду чисел. х допустимо только от 0 и более. и пару примеров решения

Answer 2

Для доказательства дифференцируемости функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в каждой точке $x > 0$, мы должны показать, что предел

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

существует для любой точки $x > 0$.

Сначала найдем производную этой функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

Теперь найдем производную $f'(x)$ используя степенное правило дифференцирования:

$f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

Теперь, давайте рассмотрим выражение для предела:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left(x + h\right)^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{h}$

Для удобства, давайте умножим числитель и знаменатель на $\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$:

$\lim_{h \to 0} \frac{\left(x + h\right)^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{h} \cdot \frac{\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}$

Теперь у нас есть общий множитель $\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе, который можно сократить:

$\lim_{h \to 0} \frac{\left(x + h\right)^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{h} \cdot \frac{\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{\left(x + h\right)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}$

Теперь, если мы устремим $h$ к 0, оба выражения под знаками предела станут $x^{\frac{1}{2}}$, и мы получим:

$\lim_{h \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$