Question

Докажите что при любых значениях а выражение а2-18а+82 принимает неотрпицательное значение

Answer 1

A² -  18a  +82  = a² - 2*9a  + 9²  + 1= (a-9)²  + 1    > 0

  

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $a^2 - 18a + 82$ принимает неотрицательное значение для любых значений $a$, давайте воспользуемся методом завершения квадрата (completing the square).

Выражение $a^2 - 18a + 82$ можно переписать следующим образом:

$a^2 - 18a + 82 = (a^2 - 18a + 81) + 1$

Теперь добавим и вычтем квадратичный член, который полностью завершает квадрат внутри скобок. Квадратный член можно найти путем деления линейного коэффициента (-18) пополам и возведения в квадрат:

$= (a^2 - 18a + 9 - 9 + 82) + 1$

Теперь мы получили следующее выражение:

$= (a^2 - 18a + 9) - 9 + 82 + 1$

Теперь давайте упростим это выражение:

$= (a - 9)^2 - 9 + 83$

Теперь давайте рассмотрим, какое значение имеет это выражение:

1. $(a - 9)^2$ - это всегда неотрицательное значение, так как квадрат любого числа неотрицательный.
2. -9 - это константа и отрицательное значение.
3. 83 - это константа и положительное значение.

Теперь мы можем заключить, что выражение $(a - 9)^2 - 9 + 83$ всегда будет неотрицательным, так как неотрицательное значение ($(a - 9)^2$) минус отрицательное значение (-9) плюс положительное значение (83) всегда будет неотрицательным.

Таким образом, при любых значениях $a$, выражение $a^2 - 18a + 82$ принимает неотрицательное значение.