Question

10 баллов. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 3 часа. Первая труба может наполнить этот бак на 2,5 часа быстрее, чем вторая. За какое время может наполнить бак каждая труба в отдельности?

Answer 1

Пусть первая труба наполняет за Х часов, а вторая за Х+2,5 часа.

за 3 час вместе они наполняют весь бак

3/Х+3/(Х+2,5)=1

3Х+7,5+3Х=Х*Х+2,5Х

Х*Х-3,5Х-7,5=0

По теореме Виета  два корня 5 и -1,5

Х=5   Х+2,5=7,5

Ответ : первая труба наполняет  бак за 5 часов, вторая за 7,5 часов

Answer 2

Пусть время, за которое вторая труба наполняет бак, равно $x$ часов. Тогда первая труба наполняет бак за $x - 2,5$ часов.

Скорость наполнения бака первой трубой (в баках в час) равна $\frac{1}{x - 2,5}$, а скорость наполнения бака второй трубой равна $\frac{1}{x}$.

Зная, что обе трубы наполняют бак за 3 часа, мы можем составить уравнение:

$$3 \left(\frac{1}{x - 2,5} + \frac{1}{x}\right) = 1,$$

поскольку сумма скоростей наполнения бака должна быть равна 1 бак в 3 часа.

Решая это уравнение, найдем значение $x$, затем вычислим время для каждой трубы отдельно.

$$\begin{align*} 3 \left(\frac{1}{x - 2,5} + \frac{1}{x}\right) &= 1 \\ \frac{3}{x - 2,5} + \frac{3}{x} &= 1 \\ \frac{3x + 3(x - 2,5)}{x(x - 2,5)} &= 1 \\ 3x + 3x - 7,5 &= x^2 - 2,5x \\ 0 &= x^2 - 5,5x + 7,5 \\ x^2 - 5,5x + 7,5 &= 0. \end{align*}$$

Используя квадратное уравнение, можно найти корни: $x = \frac{5,5 \pm \sqrt{(-5,5)^2 - 4 \times 1 \times 7,5}}{2 \times 1}.$

Рассчитаем значения $x$: $x_1 = \frac{5,5 + \sqrt{5,5^2 - 30}}{2} \approx 4,61 \text{ часа (вторая труба)},$ $x_2 = \frac{5,5 - \sqrt{5,5^2 - 30}}{2} \approx 0,89 \text{ часа (первая труба)}.$

Таким образом, вторая труба может наполнить бак за примерно 4,61 часа, а первая труба может наполнить бак за примерно 0,89 часа.