Question

Найти площадь фигуры ограниченной графиками функций y=4- x^2,y=x^2-2x

Answer 1

==========================================

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 4 - x^2 и y = x^2 - 2x, мы должны найти точки их пересечения, которые будут определять границы этой фигуры. Затем мы можем вычислить интеграл от разности этих двух функций по x в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций, решив уравнение:

4 - x^2 = x^2 - 2x

Сначала переносим все члены на одну сторону уравнения:

4 - x^2 - x^2 + 2x = 0

Это уравнение можно упростить:

2x^2 - 2x - 4 = 0

Теперь разделим обе стороны на 2:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 и применить квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -1 и c = -2. Подставим эти значения:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Для вычисления площади между графиками функций, мы будем интегрировать разность этих двух функций по x от -1 до 2:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - x^2 - (x^2 - 2x)) dx

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - x^2 - x^2 + 2x) dx

Площадь = ∫[от -1 до 2] (4 - 2x^2 + 2x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = [4x - (2/3)x^3 + x^2] от -1 до 2

Площадь = [(4 * 2 - (2/3) * 2^3 + 2^2) - (4 * (-1) - (2/3) * (-1)^3 + (-1)^2)]

Площадь = [(8 - (2/3) * 8 + 4) - (-4 + (2/3) - 1)]

Площадь = [(8 - 16/3 + 12/3) - (-4 + 2/3 - 1)]

Площадь = [(24/3 - 16/3 + 12/3) - (-12/3 + 2/3 - 3/3)]

Площадь = [(24 - 16 + 12) - (-12 + 2 - 3)]

Площадь = [20 - (-13)]

Площадь = 20 + 13

Площадь = 33

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 4 - x^2 и y = x^2 - 2x, равна 33 квадратным единицам.