Question

F(x)=ctg4x найти f'(x), f'(-Pi/6)

Answer 1

f '(x) = (ctg4x)' = -4/sin²(4x)

f '(-π/6) = -4/sin²(-4π/6) = -4/sin²(2π/3) = -4/(3/4) = -16/3

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = \cot(4x)$ сначала используем правило дифференцирования тригонометрической функции $\cot(x)$:

$$\frac{d}{dx}[\cot(x)] = -\csc^2(x)$$

Теперь мы можем применить это правило для нашей функции $f(x) = \cot(4x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\cot(4x)] = -\csc^2(4x)$$

Теперь, чтобы найти значение производной $f'(x)$ в точке $x = -\frac{\pi}{6}$, мы подставляем $x = -\frac{\pi}{6}$ в $f'(x)$:

$$f'(-\frac{\pi}{6}) = -\csc^2(4 \cdot -\frac{\pi}{6}) = -\csc^2(-\frac{2\pi}{3})$$

Теперь, чтобы найти значение $\csc^2(-\frac{2\pi}{3})$, мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью:

$$\csc^2(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{\sin^2(-\frac{2\pi}{3})}$$

Значение синуса в точке $-\frac{2\pi}{3}$ равно $\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$\frac{1}{\sin^2(-\frac{2\pi}{3})} = \frac{1}{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Итак, $f'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{4}{3}$.