Question

Допоможіть будь ласка це терміново. Обчисліть.∫₀дріб зверху і знизу₂(cos х- sin x) dx. А)2. Б)1. В)-1. Г)0.

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, (sinx-cosx)\, dx=(-cosx-sinx)\Big |_0^{\frac{\pi}{2}}=-cos\frac{\pi}{2}-sin\frac{\pi}{2}+cos0+sin0=\\\\=-0-1+1+0=0$

Answer 2

Щоб знайти значення виразу $\int_{0} \frac{dx}{2(\cos(x) - \sin(x))}$, спробуємо його обчислити.

Спочатку розглянемо вираз у знаменнику: $\cos(x) - \sin(x)$. Ми можемо спростити його, скориставшись тригонометричним тотожністю $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, яка випливає з основного піфагорового тригонометричного тотожніства. Розкладемо $\cos(x) - \sin(x)$ за цією тотожністю:

$$\cos(x) - \sin(x) = \cos(x) - \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} - \frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$$

Тепер можемо записати наш вираз у знаменнику у спрощеній формі:

$$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} - \frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\cos(x)}{\cos(x) - \sqrt{1 - \cos^2(x)}}\right)$$

Тепер розглянемо зверху і знизу інтеграл:

$$\int_{0} \frac{dx}{2(\cos(x) - \sin(x))} = \int_{0} \frac{1}{2}\left(\frac{\cos(x)}{\cos(x) - \sqrt{1 - \cos^2(x)}}\right) \, dx$$

Проведемо заміну $u = \cos(x) - \sqrt{1 - \cos^2(x)}$. Тоді $du = \frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \, dx$. Отримаємо:

$$\int \frac{1}{2} \frac{\cos(x)}{u} \frac{du}{\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}} = \int \frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{2u} \, du$$

Тепер можемо обчислити цей інтеграл:

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C$$

Повертаємося до змінної $x$:

$$\frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln\left|\cos(x) - \sqrt{1 - \cos^2(x)}\right| + C$$