Question

Даю 20 баллов! докажите, что если: 1) a+b+c=0 то а³ b³c²+a²b⁴c²+a²b³c³=0 2)a²-b²=2ab+1 то а^6 b⁴-2a^5b^5-a⁴b^6=a⁴b⁴​

Answer 1

Ответ:

Доказано

Объяснение:

1) a³b³c²+a²b⁴c²+a²b³c³=0

a²b³c²×(a+b+c)=0, при a+b+c = 0

(a²b³c²)×0 = 0

0 = 0

2)a⁶b⁴-2a⁵b⁵-a⁴b⁶=a⁴b⁴

a⁴b⁴×(a²-2ab - b²)=a⁴b⁴ |:(a⁴b⁴), а≠0 и b≠0

a²-2ab-b² = 1

a²- b² = 2ab + 1

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. Пусть a + b + c = 0. Мы хотим доказать, что a³b³c² + a²b⁴c² + a²b³c³ = 0.

Давайте выразим c из первого уравнения: c = -(a + b). Теперь мы можем подставить это значение в выражение a³b³c² + a²b⁴c² + a²b³c³:

a³b³c² + a²b⁴c² + a²b³c³ = a³b³(-a - b)² + a²b⁴(-a - b)² + a²b³(-a - b)³.

Теперь факторизуем общий множитель (-a - b)²:

a³b³(-a - b)² + a²b⁴(-a - b)² + a²b³(-a - b)³ = (-a - b)²[a³b³ + a²b⁴ + a²b³(-a - b)].

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель (-a - b)² перед квадратными скобками. По условию, a + b + c = 0, что можно переписать как c = -(a + b). Таким образом, (-a - b)² = c².

Теперь мы можем подставить это обратно в наше выражение:

(-a - b)²[a³b³ + a²b⁴ + a²b³(-a - b)] = c²[a³b³ + a²b⁴ + a²b³c].

Теперь давайте используем первое уравнение снова, чтобы заменить a + b + c на 0:

c²[a³b³ + a²b⁴ + a²b³c] = c²[0] = 0.

Таким образом, мы доказали, что если a + b + c = 0, то a³b³c² + a²b⁴c² + a²b³c³ = 0.

2. Пусть a² - b² = 2ab + 1. Мы хотим доказать, что a⁶b⁴ - 2a⁵b⁵ - a⁴b⁶ = a⁴b⁴.

Сначала выразим b² из данного уравнения: b² = a² - 2ab - 1. Теперь подставим это значение в выражение a⁶b⁴ - 2a⁵b⁵ - a⁴b⁶:

a⁶b⁴ - 2a⁵b⁵ - a⁴b⁶ = a⁶(a² - 2ab - 1)² - 2a⁵(a² - 2ab - 1)³ - a⁴(a² - 2ab - 1)³.

Теперь давайте факторизуем общий множитель (a² - 2ab - 1)²:

a⁶(a² - 2ab - 1)² - 2a⁵(a² - 2ab - 1)³ - a⁴(a² - 2ab - 1)³ = (a² - 2ab - 1)²[a⁶ - 2a⁵(a² - 2ab - 1) - a⁴(a² - 2ab - 1)].

Теперь давайте используем второе уравнение снова, чтобы заменить a² - 2ab - 1 на ab:

(a² - 2ab - 1)²[a⁶ - 2a⁵(a² - 2ab - 1) - a⁴(a² - 2ab - 1)] = ab²[ab - 2a⁵ab - a⁴ab] = ab²[-a⁶].

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель ab² перед выражением -a⁶, и мы знаем, что ab ≠ 0, так как в противном случае было бы a = 0 или b = 0, что противоречит условию. Поэтому -a⁶ * ab² = -a⁸b².

Таким образом, мы доказали, что a⁶b⁴ - 2a⁵b⁵ - a⁴b⁶ = -a⁸b².