Question

Доказать: Квадрат числа n равен сумме |n|-ого количества всех натуральных нечётных чисел от 1 до (2|n|-1).n = 1 + 3 + 5 + ... + (2|n| - 1)Например:5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Необходимо доказать, что $n^{2}=1+3+. . .+(2n-1)$

Докажем это утверждение с помощью метода математической индукции.

1. База индукции - при n = 1

1² = 1

Получили верное равенство, следовательно база индукции выполнена.

2. Шаг индукции. Предположим, что наше утверждение верно при n = k, т.е. $k^{2}=1+3+. . .+(2k-1) (1)$

Докажем теперь, что в таком случае утверждение будет верно и для n = k + 1.

$(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1$

Вместо k² в правую часть равенства подставим верное равенство (1), получим:

$(k+1)^{2}=1+3+. . .+(2k-1)+(2k+1)$

Т.е утверждение верно и для n = k + 1 и доказан шаг индукции.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом математической индукции.

1. Базовый случай (n = 1): При n = 1 мы имеем: левая сторона: 1^2 = 1, правая сторона: |1| - ое количество нечетных чисел от 1 до 2 * |1| - 1 = 1, и это действительно верно, так как у нас есть только одно нечетное число 1. Таким образом, базовый случай выполняется.

2. Предположение индукции: Предположим, что данное утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть: k^2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)

3. Индукционный шаг: Докажем, что это утверждение также верно для k+1.

   k^2 + (2(k+1) - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k+1) - 1)

   Мы знаем, что по предположению индукции k^2 равно сумме нечетных чисел от 1 до (2k - 1), поэтому:

   k^2 + (2(k+1) - 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2(k+1) - 1)

   Теперь давайте раскроем последнее нечетное число (2(k+1) - 1):

   k^2 + (2(k+1) - 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1 - 1)

   Упрощаем выражение:

   k^2 + (2(k+1) - 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k)

   Теперь мы видим, что правая сторона имеет формулу для суммы нечетных чисел от 1 до (2(k+1) - 1). Таким образом, мы доказали, что утверждение верно и для k+1.

Таким образом, по методу математической индукции мы показали, что для любого натурального числа n, квадрат числа n равен сумме всех нечетных чисел от 1 до (2n - 1), что и требовалось доказать.