Question

Решите уравнение 8sin^2 2x+3sin 4x=7

Answer 1

$8sin^22x+3sin4x=7\\ \\ 8sin^22x+6sin2x*cos2x=7\\ \\ 8sin^22x+6sin2xcos2x-7(sin^22x+cos^22x)=0\\ \\ sin^22x+6sin2x*cos2x-7cos^22x=0|:cos^22x\\ \\ tg^22x+6tg2x-7=0\\ \\ tg2x=a\\ \\ a^2+6a-7=0\\ \\ D=6^2+4*7=64\\ \\ a_1=\frac{-6+8}{2}=1\\ \\ a_2=\frac{-6-8}{2}=-7\\ \\ tg2x=1\\ \\ 2x=\frac{\pi }{4}+\pi n, n \in Z\\ \\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z\\ \\ tg2x=-7\\ \\ 2x=arcrg(-7)+ \pi n \in Z\\ \\ x=\frac{arctg(-7)}{2}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения 8sin^2(2x) + 3sin(4x) = 7, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Давайте разберемся с этим уравнением:

1. Заметим, что 8sin^2(2x) можно записать как 4(2sin^2(2x)), и 3sin(4x) можно записать как 6sin(2x)cos(2x). Теперь у нас есть:

4(2sin^2(2x)) + 6sin(2x)cos(2x) = 7.

2. Мы можем сделать замену, чтобы упростить уравнение. Пусть t = sin(2x). Тогда у нас есть:

4(2t^2) + 6t(2t) = 7.

3. Умножим выражение в скобках:

8t^2 + 12t = 7.

4. Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

8t^2 + 12t - 7 = 0.

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac, где a = 8, b = 12 и c = -7.

D = 12^2 - 4(8)(-7) = 144 + 224 = 368.

6. Так как дискриминант D положителен, у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) и t2 = (-b - √D) / (2a).

t1 = (-12 + √368) / (2 * 8) = (-12 + 2√92) / 16 = (-3 + √23) / 4, t2 = (-12 - √368) / (2 * 8) = (-12 - 2√92) / 16 = (-3 - √23) / 4.

7. Теперь мы знаем значения t1 и t2. Нам нужно найти соответствующие значения sin(2x):

sin(2x) = t1 и sin(2x) = t2.

8. Теперь найдем x:

Для sin(2x) = (-3 + √23) / 4: 2x = arcsin[(-3 + √23) / 4], x = (1/2) * arcsin[(-3 + √23) / 4].

Для sin(2x) = (-3 - √23) / 4: 2x = arcsin[(-3 - √23) / 4], x = (1/2) * arcsin[(-3 - √23) / 4].

Теперь у нас есть два решения для x:

x1 = (1/2) * arcsin[(-3 + √23) / 4], x2 = (1/2) * arcsin[(-3 - √23) / 4].