Question

Как решать кубические уравнения?

Answer 1

Ответ:

$\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}+\dfrac{2}{3}$

Объяснение:

Найдем дискриминант кубического уравнения:

$D=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$

У нас:

$a=1\\b=2\\c=0\\d=4$

Теперь это нужно посчитать:

$D=0-0-4\times8\times4-27\times 1\times16+0=-560$

Поскольку D<0, то уравнение имеет 1 вещественный корень.

Выделим полный куб из выражения.

Предварительно вспомним, что $(x-a)^3=x^3-3x^2a+3xa^2-x^3$.

У нас:

$2x^2=3x^2a\\a=\dfrac{2}{3}$

Тогда, учитывая, что $\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{27}$, получим:

$\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{27}+4=0$

А теперь вынесем 4/3 за скобки:

$\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{16}{27}+4=0\\\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{92}{27}=0$

Теперь можно делать замену вида $t=x-\dfrac{2}{3}$.

Получим:

$t^3-\dfrac{4}{3}t+\dfrac{92}{27}=0$

Мы привели уравнение к виду, где отсутствует член со 2-ой степенью неизвестного. Первый этап выполнен.

Второй этап будет заключаться в сведении полученного уравнения к квадратному.

Выполним новую замену:

$t=\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}$

Тогда получим:

$\left(\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}\right)+\dfrac{92}{27}=0$

Посчитав это получим:

$729q^2+2484q+64=0$

Решив это уравнение через дискриминант получим:

$q_{1,2}=\dfrac{-46\pm6\sqrt{57}}{27}$

Берем один любой q.

Я возьму $\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}$.

Выполним обратную замену:

$t=\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}$

Выполним вторую обратную замену:

$x=\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}+\dfrac{2}{3}\approx-1,1304$

Уравнение решено!

Answer 2

Решение кубических уравнений можно осуществить несколькими способами. Один из наиболее общих методов - метод Кардано (также известный как метод Кардано-Тарталья), который позволяет находить корни кубических уравнений вида:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.$

Вот шаги, которые следует выполнить, чтобы решить кубическое уравнение с использованием метода Кардано:

1. Первым шагом преобразуйте уравнение так, чтобы в нем не было члена с $x^2$. Для этого можно сделать подстановку новой переменной: $x = y - \frac{b}{3a}$. Это приведет к уравнению вида:

$ay^3 + py + q = 0,$

где $p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}$ и $q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}$.

2. Затем определите дискриминант $D$ этого нового уравнения:

$D = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}.$

3. Если $D > 0$, то уравнение имеет один вещественный корень и два комплексных корня.

4. Если $D = 0$, то уравнение имеет один вещественный корень и два совпадающих комплексных корня.

5. Если $D < 0$, то уравнение имеет три вещественных корня.

6. Найдите корни уравнения в зависимости от значения $D$. Для этого используйте формулы, которые зависят от типа корней (действительных или комплексных).

7. Если у вас есть комплексные корни, они будут иметь форму $y = u + iv$, где $u$ и $v$ - действительные числа.

8. Найденные корни $y$ затем можно преобразовать обратно в корни $x$ с использованием формулы $x = y - \frac{b}{3a}$.

Это общий метод решения кубических уравнений. Он может быть сложным и требовать тщательных вычислений, поэтому иногда целесообразно использовать компьютерные программы или калькуляторы для нахождения корней кубических уравнений.