Question

Определите является ли функция y=-x^2-4x-3 при x€(-2;+бесконеч.) обратимой. Если функция обратима, то найдите обратную к ней функцию(!).

Answer 1

Ответ:

нет

Объяснение:

Попробуем найти обратную функцию, заменив у на х и х на у и решив полученное уравнение относительно у с ограничениями:

$x=-y^2-4y-3\\-x=y^2+4y+3\\y^2+4y+3+x=0\\y=н(-4\pm\sqrt{16-4(3+x)})\\y=-2\pm\sqrt{4-3x}\\y=-2\pm\sqrt{1-x}$

Учитывая ограничения, функция определена только для x $x\in [-2;1]$ учитывая ограничения. Тогда обратной функции нет.

Answer 2

Для определения, является ли функция $y = -x^2 - 4x - 3$ обратимой, давайте сначала рассмотрим её график. Функция $y = -x^2 - 4x - 3$ - это квадратичная функция, и её график будет параболой, открывшейся вниз.

Чтобы функция была обратимой, она должна быть инъективной, то есть каждому значению $x$ должно соответствовать уникальное значение $y$, и наоборот. То есть, функция должна быть строго убывающей или строго возрастающей на своей области определения.

Давайте посмотрим, как меняется функция $y = -x^2 - 4x - 3$ при увеличении $x$:

1. При $x = -2$ функция равна $y = -(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
2. При $x = -1$ функция равна $y = -(-1)^2 - 4(-1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$.
3. При $x = 0$ функция равна $y = -(0)^2 - 4(0) - 3 = -3$.
4. При $x = 1$ функция равна $y = -(1)^2 - 4(1) - 3 = -1 - 4 - 3 = -8$.

Мы видим, что при увеличении $x$ на 1, значения функции убывают. Это означает, что функция $y = -x^2 - 4x - 3$ строго убывает на интервале $(-2; +\infty)$.

Поскольку функция строго убывает, она может быть обратимой. Для нахождения обратной функции мы можем поменять местами переменные $x$ и $y$ и решить уравнение относительно $y$:

$x = -y^2 - 4y - 3$

Теперь давайте попробуем выразить $y$ из этого уравнения. Сначала добавим 3 к обеим сторонам:

$x + 3 = -y^2 - 4y$

Затем умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от знака минус перед $y^2$ и $4y$:

$-(x + 3) = y^2 + 4y$

Теперь давайте завершим квадрат, добавив $4$ к обеим сторонам:

$-(x + 3) + 4 = y^2 + 4y + 4$

$-x + 1 = (y + 2)^2$

Теперь извлечём корень из обеих сторон:

$\sqrt{-(x + 1)} = |y + 2|$

Так как мы хотим найти обратную функцию, то $y$ должно быть выражено явно. Извлечение корня из отрицательного числа вещественными числами не определено, поэтому давайте оставим только модуль на правой стороне:

$|y + 2| = \sqrt{-(x + 1)}$

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. $y + 2 = \sqrt{-(x + 1)}$
2. $y + 2 = -\sqrt{-(x + 1)}$

Для первого случая:

$y = \sqrt{-(x + 1)} - 2$

Для второго случая:

$y = -\sqrt{-(x + 1)} - 2$

Обратная функция будет иметь две ветви, одну для каждого из этих случаев. Таким образом, обратная функция будет следующей:

\sqrt{-(x + 1)} - 2, & x \leq -1 \\ -\sqrt{-(x + 1)} - 2, & x \leq -1 \end{cases}\] Эта обратная функция будет сопоставлять каждому значению \(x\) соответствующее значение \(y\), и она существует на интервале \((-\infty; -1]\).