Question

Найти производную по определению y=5x²​

Answer 1

5*(х+Δx)²-5х²=5х²+10х*Δх+(Δx)²-5х²=10х*Δх+(Δx)²- это приращение функции

Делим приращение функции на приращение аргумента.

(10х*Δх+(Δx)²)/Δх=10х+Δх

Берем предел при Δх→0, получаем 10х

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = 5x^2$ по определению, мы можем использовать определение производной:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

В данном случае $f(x) = 5x^2$, поэтому мы будем находить производную $f'(x)$. Применяя определение производной:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{5(x + h)^2 - 5x^2}{h}$$

Теперь раскроем квадрат в числителе:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{5(x^2 + 2xh + h^2) - 5x^2}{h}$$

Распределите 5 внутри скобок:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{5x^2 + 10xh + 5h^2 - 5x^2}{h}$$

Упростим числитель, отменяя $5x^2$:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{10xh + 5h^2}{h}$$

Теперь можно сократить $h$ в числителе и знаменателе:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (10x + 5h)$$

Теперь мы можем взять предел при $h$ стремящемся к нулю:

$$f'(x) = 10x + 5 \cdot 0 = 10x$$

Итак, производная функции $y = 5x^2$ по определению равна $10x$.