Question

Помогите решить уравнение y^3-4y+y^2-4=0

Answer 1

Ответ:

у = 2; -2; -1

Объяснение:

Answer 2

Для решения уравнения $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0$, давайте попробуем найти его корни. Для упрощения уравнения сгруппируем члены с одинаковыми степенями $y$:

$y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0$

Теперь давайте попробуем найти рациональные корни уравнения, используя рациональную теорему о корнях. Рациональные корни будут делителями свободного члена (-4) и младшего коэффициента (1) уравнения. Потенциальные рациональные корни:

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Попробуем каждое из этих значений в уравнении, используя метод подстановки:

1. Подставим $y = 1$:

$1^3 + 1^2 - 4 \cdot 1 - 4 = 1 + 1 - 4 - 4 = -6$

2. Подставим $y = -1$:

$-1^3 + (-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$

Таким образом, $y = -1$ является одним из корней уравнения.

Для нахождения остальных корней, можно использовать синтетическое деление или деление с остатком. Давайте поделим уравнение на $(y + 1)$ с использованием синтетического деления:

$$\begin{array}{c|ccccc} -1 & 1 & 1 & -4 & -4 \\ \hline & & -1 & 0 & 4 \\ \end{array}$$

Результат деления: $y^2 - y - 4$

Теперь у нас есть уравнение $y^2 - y - 4 = 0$, которое можно решить как квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ $y_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Итак, корни уравнения $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0$ равны:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ $y_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ $y_3 = -1$