Question

Найдите первообразную для функции f(x)=1/2e^x, график которой проходит через точку M(ln2; -4). 1) 2е^x-8 2)1/2e^x-3 3)1/2e^x-5 4)2e^x

Answer 1

Первообразная 1/2 е^x+C.
третья функция проходит через заданную точку

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 1/2e^x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Для начала, заметим, что производная функции e^x равна самой функции, то есть (e^x)' = e^x. Также, производная функции a*f(x) равна a*f'(x), где a - константа.

Используя эти свойства, мы можем найти первообразную для функции f(x) = 1/2e^x. Поделим каждый член на 1/2, чтобы упростить выражение:

f(x) = (1/2)e^x = e^x/2

Теперь мы получили функцию, производная которой равна f(x). Чтобы найти первообразную F(x), мы должны интегрировать функцию f(x):

F(x) = ∫e^x/2 dx

Для интегрирования этой функции, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть u = x/2, тогда du/dx = 1/2 и dx = 2du. Подставим это в наше выражение:

F(x) = ∫e^u * 2du

Теперь, интегрируя функцию e^u, получаем:

F(x) = 2∫e^u du = 2e^u + C

Где C - произвольная постоянная. Заменим обратно переменную u на x/2:

F(x) = 2e^(x/2) + C

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1/2e^x равна F(x) = 2e^(x/2) + C.

Первообразная функции f(x) = 1/2e^x, проходящей через точку M(ln2; -4)

Мы можем использовать данную точку, чтобы найти значение постоянной C. Подставим координаты точки M в наше уравнение первообразной:

-4 = 2e^((ln2)/2) + C

Теперь найдем значение C:

C = -4 - 2e^((ln2)/2)

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1/2e^x, проходящей через точку M(ln2; -4), равна:

F(x) = 2e^(x/2) - 4 - 2e^((ln2)/2)