Question

Решить уравнение: √(1-cosx)=sinx

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{1 - \cos(x) } = \sin(x)$

ОДЗ:

$1 - \cos(x) \geqslant 0 \\ \sin(x) \geqslant 0 \\ \\ 1) \cos(x) \leqslant 1 \\ 2)\sin(x) \geqslant 0$

1) х - любое число

2) рисунок

х∈[ 2Пn; П + 2Пn], n принадлежит Z.

$\sqrt{1 - \cos(x) } = \sin(x) \\ 1 - \cos(x) = { \sin }^{2} (x) \\ 1 - \cos(x) = 1 - { \cos }^{2} (x) \\ { \cos }^{2} (x) - \cos(x) = 0 \\ \cos(x) ( \cos(x) - 1) = 0 \\ \\ \cos(x) = 0 \\ x1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \\ x2 = - \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n$

второй корень не подходит по ОДЗ.

$\cos(x) - 1 = 0 \\ \cos(x) = 1 \\ x3 = 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

Ответ:

$x1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \\ x2 = 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы начнем с того, чтобы избавиться от корня и получить квадратное уравнение. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√(1 - cos(x)))^2 = (sin(x))^2

1 - cos(x) = sin^2(x)

Теперь используем тождество для sin^2(x):

1 - cos(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь выразим cos(x):

cos(x) = 1 - sin^2(x)

cos(x) = cos^2(x)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Перенесем все члены на одну сторону:

cos^2(x) - cos(x) + 1 - sin^2(x) = 0

Теперь заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x), и заменим это в уравнении:

cos^2(x) - cos(x) + 1 - (1 - cos^2(x)) = 0

Теперь у нас есть уравнение только относительно cos(x):

cos^2(x) - cos(x) + 1 - 1 + cos^2(x) = 0

Сокращаем некоторые члены:

2cos^2(x) - cos(x) = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. cos(x) = 0
2. 2cos(x) - 1 = 0

Решим каждое из них по отдельности:

1. cos(x) = 0

Это уравнение имеет решение при x = π/2 + πn, где n - любое целое число.

2. 2cos(x) - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам и разделим на 2:

2cos(x) = 1 cos(x) = 1/2

Это уравнение имеет два решения: x = π/3 + 2πn и x = 5π/3 + 2πn, где n - любое целое число.

Итак, у нас есть три набора решений:

1. x = π/2 + πn
2. x = π/3 + 2πn
3. x = 5π/3 + 2πn, где n - любое целое число.