Question

Вычислить: cos15п/32 * cos п/32 * cos п/16 * cos п/8

Answer 1

Cos15π/32=cos(π/2-π/32)=sinπ/32
sinπ/32*cosπ/32*cosπ/16*cosπ/8=1/2*sinπ/16*cosπ/16*cosπ/8=
=1/4sinπ/8*cosπ/8=1/8*sinπ/4=1/8*√2/2=√2/16

Answer 2

Для решения данной задачи мы будем использовать тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем выражение cos(п/32) * cos(п/16) * cos(п/8) следующим образом:

cos(п/32) * cos(п/16) * cos(п/8) = (1/2) * (cos(п/16) + cos(п/64)) * cos(п/8)

Теперь подставим это выражение в исходное:

cos(15п/32) * cos(п/32) * cos(п/16) * cos(п/8) = cos(15п/32) * (1/2) * (cos(п/16) + cos(п/64)) * cos(п/8)

Теперь воспользуемся формулой произведения суммы и разности для косинусов:

cos(α) * cos(β) = 1/2 * (cos(α + β) + cos(α - β))

Применим эту формулу к выражению cos(15п/32) * (1/2) * (cos(п/16) + cos(п/64)) * cos(п/8):

= (1/4) * (cos(15п/32 + п/16 + п/8) + cos(15п/32 + п/16 - п/8) + cos(15п/32 - п/16 + п/8) + cos(15п/32 - п/16 - п/8))

Теперь найдем значения для каждого из этих углов:

15п/32 + п/16 + п/8 = 15п/32 + 2п/16 + 4п/32 + 8п/32 = 15п/32 + 2п/32 + 4п/32 + 8п/32 = 29п/32 15п/32 + п/16 - п/8 = 15п/32 + 2п/16 - 4п/32 = 15п/32 + п/8 - п/8 = 15п/32 15п/32 - п/16 + п/8 = 15п/32 - 2п/16 + 4п/32 = 15п/32 - п/8 + п/8 = 15п/32 15п/32 - п/16 - п/8 = 15п/32 - 2п/16 - 4п/32 = 15п/32 - п/8 - п/8 = 15п/32 - п/4

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

= (1/4) * (cos(29п/32) + cos(15п/32) + cos(15п/32) + cos(15п/32 - п/4))

Теперь можно вычислить значения косинусов для каждого угла:

cos(29п/32) ≈ 0.2588 cos(15п/32) ≈ 0.9239 cos(15п/32 - п/4) ≈ -0.3827

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

= (1/4) * (0.2588 + 0.9239 + 0.9239 - 0.3827) = (1/4) * (2.7239) ≈ 0.680975

Итак, значение выражения cos(15п/32) * cos(п/32) * cos(п/16) * cos(п/8) ≈ 0.680975.