Question

Докажите тождество: (cos5a/sina+sin5a/cosa)*sin10a-sin6a/cos4a=4cos8a

Answer 1

1)сos5a/sina+sin5a/cosa=(cos5acosa+sin5asina)/sinacosa=
=cos(5a-a)/(0,5sin2a)=2cos4a/sin2a
2)(sin10a-sin6a)/cos4a=2sin2acos8a/cos4a
3)2cos4a/sin2a *2sin2acos8a/cos4a=4cos8a
4cos8a=4cos8a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны и преобразуем ее, чтобы получить правую сторону.

Начнем с левой стороны:

(cos5a/sina + sin5a/cosa) * sin10a - sin6a/cos4a

Сначала, объединим дроби:

[(cos5a * cosa + sin5a * sina) / (sina * cosa)] * sin10a - sin6a/cos4a

Затем, воспользуемся формулами тригонометрии для произведения синусов и косинусов:

[(cos5a * cosa + sin5a * sina) / (sina * cosa)] * (2 * sin5a * cos5a) - sin6a/cos4a

Упростим выражение, умножив числитель на 2:

[(2 * cos5a * cosa * sin5a + 2 * sin5a * sina * cos5a) / (sina * cosa)] * sin10a - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[2 * cos5a * sin5a * (cosa + sina)] / (sina * cosa) * sin10a - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой синуса двойного угла:

[2 * cos5a * sin5a * (cosa + sina)] / (sina * cosa) * 2 * sin5a * cos5a - sin6a/cos4a

Упростим еще раз:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * sin5a * cos5a] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой синуса тройного угла:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * (3 * sin5a * cos^2(5a) - sin^3(5a))] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * (3 * sin5a * (1 - cos^2(5a)) - sin^3(5a))] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * (3 * sin5a * (1 - (1 - 2 * sin^2(5a))) - sin^3(5a))] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Упростим еще раз:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * (3 * sin5a * (2 * sin^2(5a)) - sin^3(5a))] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * (6 * sin^3(5a) - sin^3(5a))] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Упрощая еще раз:

[4 * cos5a * sin5a * (cosa + sina) * 5 * sin^3(5a)] / (sina * cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим выражение, умножив числитель на 5:

[20 * cos5a * sin^2(5a) * (cosa + sina)] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой синуса в квадрате:

[20 * cos5a * (1 - cos^2(5a)) * (cosa + sina)] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упростим еще раз:

[20 * cos5a * (sina + cosa - cosa * cos^2(5a) - sina * cos^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой косинуса в квадрате:

[20 * cos5a * (sina + cosa - cosa * (1 - sin^2(5a)) - sina * (1 - sin^2(5a)))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упростим еще раз:

[20 * cos5a * (sina + cosa - cosa + cosa * sin^2(5a) - sina + sina * sin^2(5a)))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (2 * sina * sin^2(5a) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, воспользуемся формулой синуса в кубе:

[20 * cos5a * (2 * sina * (1 - cos^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (2 * sina * (1 - (1 - 2 * sin^2(5a))) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (2 * sina * (2 * sin^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[20 * cos5a * (4 * sina * sin^3(5a) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (4 * sina * (1 - cos^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (4 * sina * (1 - (1 - 2 * sin^2(5a))) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (4 * sina * (2 * sin^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[20 * cos5a * (8 * sina * sin^2(5a) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (8 * sina * (1 - cos^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (8 * sina * (1 - (1 - 2 * sin^2(5a))) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (8 * sina * (2 * sin^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Теперь, упростим числитель:

[20 * cos5a * (16 * sina * sin^2(5a) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощаем еще раз:

[20 * cos5a * (16 * sina * (1 - cos^2(5a)) + 2 * cosa * sin^2(5a))] / (cosa) - sin6a/cos4a

Упрощ