Question

Найти sin(a/2) cos(a/2) tg(a/2) если sina=3/5, π/2 < a < п

Answer 1

Ответ:

Угол а принадлежит 2 четверти, значит а/2 - первой четверти

Формулы:

$2 { \sin}^{2} ( \frac{ \alpha }{2} ) = 1 - \cos( \alpha ) \\ 2 { \cos}^{2} (\frac{ \alpha }{2}) = 1 + \cos( \alpha )$

Найдем cosa

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5}$

$\sin( \frac{ \alpha }{2} ) = \sqrt{ \frac{1 - \cos( \alpha ) }{2} } = \\ = \sqrt{ \frac{1 + \frac{4}{5} }{2} } = \sqrt{ \frac{1}{2} \times \frac{9}{5} } = \\ = \sqrt{ \frac{9}{10} } = \frac{3 \sqrt{10} }{10}$

$\cos( \frac{ \alpha }{2} ) = \sqrt{ \frac{1 + \cos( \alpha ) }{2} } = \\ = \sqrt{ \frac{1 - \frac{4}{5} }{2} } = \sqrt{ \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} } = \frac{ \sqrt{10} }{ \sqrt{10} }$

$tg( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \sin( \frac{ \alpha }{2} ) }{ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) } = \frac{3 \sqrt{10} }{10} \times \frac{ \sqrt{10} }{1} = 3$

Answer 2

Для нахождения значений sin(a/2), cos(a/2) и tg(a/2) при известном значении sin(a), нам понадобится использовать тригонометрические идентичности. В данном случае у нас есть sin(a) = 3/5.

Сначала найдем cos(a) с использованием тождества Пифагора: cos(a) = √(1 - sin^2(a)) cos(a) = √(1 - (3/5)^2) cos(a) = √(1 - 9/25) cos(a) = √(16/25) cos(a) = 4/5

Теперь, мы можем найти sin(a/2) с использованием формулы половинного угла: sin(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2) sin(a/2) = ±√((1 - 4/5)/2) sin(a/2) = ±√((1/5)/2) sin(a/2) = ±√(1/10) sin(a/2) = ±√(1/10) sin(a/2) = ±(1/√10) sin(a/2) = ±(1/√10) * (√10/√10) sin(a/2) = ±(√10/10)

Теперь найдем cos(a/2) с использованием формулы половинного угла: cos(a/2) = ±√((1 + cos(a))/2) cos(a/2) = ±√((1 + 4/5)/2) cos(a/2) = ±√((9/5)/2) cos(a/2) = ±√(9/10) cos(a/2) = ±(3/√10) cos(a/2) = ±(3/√10) * (√10/√10) cos(a/2) = ±(3√10/10)

Наконец, чтобы найти tg(a/2), мы можем использовать отношение sin(a/2) к cos(a/2): tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2) tg(a/2) = (±√10/10) / (±3√10/10)

Заметьте, что знаки в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому остается только значение 1/3:

tg(a/2) = 1/3

Таким образом, при данном значении sin(a) = 3/5 и условии π/2 < a < π, мы получаем следующие значения: sin(a/2) = ±(√10/10) cos(a/2) = ±(3√10/10) tg(a/2) = 1/3