Question

Решите уравнение z^3 + 125 = 0 в множестве комплексных чисел.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Чтобы решить уравнение z^3 + 125 = 0 в комплексных числах, мы можем воспользоваться формулой для суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

В данном уравнении, a = z, а b = 5. Мы можем записать уравнение в виде:

z^3 + 5^3 = (z + 5)(z^2 - 5z + 5^2)

Теперь мы можем решить уравнение (z + 5)(z^2 - 5z + 25) = 0, используя два уравнения:

1) z + 5 = 0 2) z^2 - 5z + 25 = 0

Решим первое уравнение: z + 5 = 0 Вычитаем 5 из обеих сторон: z = -5

Теперь решим второе уравнение: z^2 - 5z + 25 = 0 Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -5, c = 25 D = (-5)^2 - 4 * 1 * 25 D = 25 - 100 D = -75

Поскольку дискриминант D отрицательный, у нас есть два комплексных корня. Мы можем использовать формулу для комплексных корней:

z = (-b ± √D) / 2a

z1 = (-(-5) + √(-75)) / (2 * 1) = (5 + √75i) / 2 = 5/2 + (√75/2)i z2 = (-(-5) - √(-75)) / (2 * 1) = (5 - √75i) / 2 = 5/2 - (√75/2)i

Таким образом, решения уравнения z^3 + 125 = 0 в множестве комплексных чисел равны z = -5, z = 5/2 + (√75/2)i и z = 5/2 - (√75/2)i.