Question

F(x)=cos^4(x), x0=pi/3 Найти f'(x), f'(x0)

Answer 1

Ответ:

Объяснение: f(x)=cos⁴x,   f'(x)=4cos³x (-sinx)=-4cos³x· sinx.

f'(π/3)= - 4 cos³(π/3)· sin π/3 =-4·(1/2)³·√3/2= -√3/4.

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = \cos^4(x)$, вам нужно применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) к функции $\cos^4(x)$. Сначала вычислим производную этой функции $f(x)$, а затем подставим $x_0 = \frac{\pi}{3}$, чтобы найти $f'(\frac{\pi}{3})$.

Исходная функция: $f(x) = \cos^4(x)$.

Применим цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) для $\cos^4(x)$:

$$\begin{align*} f(x) &= \cos^4(x) \\ f'(x) &= 4\cos^3(x) \cdot (-\sin(x)) \\ f'(x) &= -4\cos^3(x) \sin(x). \end{align*}$$

Теперь найдем производную $f'(x_0)$ при $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$$\begin{align*} f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= -4\cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right). \end{align*}$$

Чтобы вычислить эту производную, нам нужно знать значения $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ (так как $\cos(\pi/3)$ соответствует углу 60 градусов, а $\cos(60^\circ)$ равен $\frac{1}{2}$).

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (так как $\sin(\pi/3)$ соответствует углу 60 градусов, а $\sin(60^\circ)$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Теперь подставляем эти значения в $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$:

$$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Итак, $f'(x) = -4\cos^3(x) \sin(x)$, а $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$