Question

Докажите тождество! 100 баллов 1) tg(a) + 2ctg(2a) = ctg(a) 2) sin^3(a) + sin(3a) / cos^3(a) - cos(3a) = ctg(a)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) tg(a) + 2ctg(2a) = ctg(a)

Answer 2

Давайте докажем оба тождества.

Доказательство тождества 1: $\tan(a) + 2\cot(2a) = \cot(a)$

Для начала, перепишем $\cot(2a)$ через тангенс: $\cot(2a) = \frac{1}{\tan(2a)} = \frac{1}{\frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}} = \frac{1 - \tan^2(a)}{2\tan(a)}$

Теперь подставим это обратно в наше уравнение и приведем его к общему знаменателю: $\tan(a) + 2\cot(2a) = \tan(a) + \frac{2(1 - \tan^2(a))}{2\tan(a)} = \frac{\tan^2(a) + 2 - 2\tan^2(a)}{2\tan(a)} = \frac{2 - \tan^2(a)}{2\tan(a)}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2(a)$ (замечание: $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$): $\frac{2 - \tan^2(a)}{2\tan(a)} = \frac{2 - \frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}}{2\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} = \frac{2\cos^2(a) - \sin^2(a)}{2\sin(a)\cos(a)}$

Используем тригонометрический тождество $\cos^2(a) - \sin^2(a) = \cos(2a)$ и $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$: $\frac{2\cos^2(a) - \sin^2(a)}{2\sin(a)\cos(a)} = \frac{\cos(2a)}{\sin(2a)} = \cot(2a)$

Таким образом, у нас есть равенство: $\tan(a) + 2\cot(2a) = \cot(2a)$ что и требовалось доказать.

Доказательство тождества 2: $\frac{\sin^3(a) + \sin(3a)}{\cos^3(a) - \cos(3a)} = \cot(a)$

Начнем с преобразования числителя и знаменателя: $\frac{\sin^3(a) + \sin(3a)}{\cos^3(a) - \cos(3a)} = \frac{\sin(a)(1 - \cos^2(a)) + \sin(3a)}{(1 - \sin^2(a))\cos(a) - \cos(3a)}$

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

• $\sin(3a) = 3\sin(a) - 4\sin^3(a)$
• $\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3\cos(a)$

Подставим их: $\frac{\sin (a)(1-{\cos }^{}}{}$