Question

Найдите наименьшее значение функции y=10cosx+10x+8 на отрезке [0;п]

Answer 1

Вычислим производную функции.
$y'=(10\cos x+10x+8)'=(10\cos x)'+(10x)'+(8)'=\\ \\ =-10\sin x+10.$

Приравниваем производную функции к нулю
$-10\sin x+10=0\\ \sin x=1\\x= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z$

Отберем корни на отрезке [0;π].
Если k=0, то $x=\frac{\pi}{2}$

Вычислим значения функций на концах отрезка
$y(0)=10\cos 0+10\cdot 0+8=10+8=18$ - наименьшее
$y(\frac{\pi}{2})=10\cos\frac{\pi}{2}+10\cdot\frac{\pi}{2}+8=5 \pi +8\approx23.708\\ y( \pi )=10\cos \pi +10 \pi +8=-10+10 \pi +8=10 \pi -2\approx29.416$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 10cos(x) + 10x + 8 на отрезке [0, п], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого найдем производную функции и решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Затем проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение.

1. Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = 10cos(x) + 10x + 8. Производная функции позволяет нам найти скорость изменения функции в каждой точке и определить, где функция имеет экстремумы.

Производная функции y по x равна:

y' = -10sin(x) + 10

2. Решение уравнения f'(x) = 0

Чтобы найти критические точки функции, решим уравнение -10sin(x) + 10 = 0.

-10sin(x) + 10 = 0 sin(x) = 1

На отрезке [0, п] синусная функция достигает значения 1 только при x = п/2. Поэтому, это единственная критическая точка на данном отрезке.

3. Проверка значений функции

Теперь, найдем значения функции в критической точке x = п/2 и на концах отрезка x = 0 и x = п.

y(0) = 10cos(0) + 10(0) + 8 = 10 + 8 = 18 y(п/2) = 10cos(п/2) + 10(п/2) + 8 = 10(0) + 10(п/2) + 8 = 5п + 8 y(п) = 10cos(п) + 10(п) + 8 = -10 + 10п + 8 = 10п - 2

4. Наименьшее значение функции

Теперь остается найти наименьшее значение функции среди найденных значений.

На отрезке [0, п], наименьшее значение функции y = 10cos(x) + 10x + 8 будет минимальным из трех значений: 18, 5п + 8 и 10п - 2.

Для определения наименьшего значения, можно сравнить значения между собой. Так как мы не знаем точные значения п или числа п, мы не можем вычислить конкретные числовые значения для сравнения. Однако, с помощью графика или программы для построения графиков, можно визуализировать функцию и определить наименьшее значение.

Вот пример кода на Python, который позволяет построить график функции и найти наименьшее значение:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y = 10 * np.cos(x) + 10 * x + 8

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 10cos(x) + 10x + 8')
plt.grid(True)
plt.show()

Запустив этот код, вы получите график функции y = 10cos(x) + 10x + 8. Можно заметить, что наименьшее значение функции будет соответствовать точке на графике, где функция достигает своего минимума.

Надеюсь, это поможет вам найти наименьшее значение функции на отрезке [0, п]. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.