Question

Из А в В выходит первый поезд со скоростью 120 км/ч и одновременно из В в А выходит второй поезд. Они встречаются через 50 мин и следуют дальше , при этом первый поезд прибывает в В на 75 мин раньше , чем второц поезд прибывает в А. Найти скорость второго поезда

Answer 1

S - расстояние, t - время, V - скорость

Первый поезд = П₁, второй поезд = П₂

П₁ и П₂ преодолевали S от пункта А в пункт В с разных концов, при этом V для П₁ = 120км/ч, V для П₂ = х км/ч и "общими усилиями" преодолели расстояние от А до В за 50мин (встретились через 50мин после того, как выехали). Далее они разъехались и П₁ прибыл в точку В на 75мин раньше, чем П₂ в точку А, значит t₁≠t₂ (общее время пути каждого поезда разное);

Внимание! Ещё раз повторюсь: за х мы взяли скорость П₂;

Формула: S(общ) = V(общ)*t (50мин=5/6часа);

$S=(120+x)*\frac{5}{6}$

$6S=5x+600$

$x=\frac{6(S-100)}{5}$

Допустим, поезда двигались одинаковое количество времени t₁=t₂; узнаем, на какое S П₁ проехал бы больше, чем П₂ (75мин=1,25часа):

120*1,25=150км

Т.е. поезда двигались бы одинаковое кол-во времени, если бы П₁ проехал ещё 150км с той же скоростью. Теперь, зная, что время движения поездов одинаковое (при S П₁ + 150км), возьмём их общее время за t.

$t=\frac{S+150}{120}$ - выражение времени движения П₂.

$t=\frac{S}{\frac{6(S-100)}{5}}=\frac{5S}{6(S-100)}$ - выражение времени движения П₂.

Поскольку под t в обоих выражениях подразумевается одно и тоже число, то и правые части выражений будут равны между собой. Запишем это:

$t=t$  ⇔  $\frac{S+150}{120}=\frac{5S}{6(S-100)}$

Упростим полученное выражение (надеюсь, тему с решением рациональных уравнений Вы помните):

$\frac{S+150}{120}=\frac{5S}{6(S-100)}$

$\frac{(S+150)(S-100)-5S*20}{120(S-100)}=0$

$\frac{S^{2}-50S-15000}{120S-12000}=0$

Правило: $\frac{P}{Q}=0$ ⇔ $P=0, Q\neq0$

Перевод, если не понятно: дробь $\frac{P}{Q}$ равна нулю, когда числитель P равен нулю, а знаменатель Q не равен нулю.

Следуя правилу, вычислим ОДЗ (область допустимых значений) - т.е. S|Q≠0 (такие значения S, при которых знаменатель Q не будет равен нулю):

120S-12000≠0

120S≠12000

S≠100 (посторонний корень)

Пояснение: если при решении уравнения один из корней будет = 100, то в ответ мы этот корень записать не сможем, т.к. при S=100 знаменатель Q равен нулю, а на нуль делить нельзя.

Теперь по правилу ищем S|Р=0 (такие значения S, при которых числитель Р будет равен нулю):

$S^{2}-50S-15000=0$

Решаем квадратное уравнение (ax²+bx+c=0);

Я сделаю через формулу частного случая при b - чётное число ( $k=\frac{b}{2}$ ):

$x_{1}=-k+\sqrt{k^{2}-c}$  и $x_{2}=-k-\sqrt{k^{2}-c}$  

$x_{1}=25+\sqrt{15625}=25+125=150$

$x_{2}=25-\sqrt{15625}=25-125=-100$

Пройденное расстояние не может быть отрицательным, х₂ нам не подходит. Значит, расстояние от пункта А до пункта В = 150км.

Из выше выведенной формулы для скорости вычислим V П₂;

$x=\frac{6(S-100)}{5}$, подставляем значение S:

$x=\frac{6(150-100)}{5}=60$

Ответ: скорость второго поезда = 60км/ч.

Answer 2

Давайте обозначим расстояние между городами А и В как D (в километрах), а скорость второго поезда (из В в А) как V2 (в километрах в час).

Первый поезд движется со скоростью 120 км/ч, и встреча с вторым поездом происходит через 50 минут, что равно 50/60 = 5/6 часа. За это время первый поезд проезжает 120 * (5/6) = 100 км.

Теперь рассмотрим время, которое им требуется, чтобы доехать до своих конечных пунктов после встречи.

Первый поезд прибывает в В на 75 минут раньше, чем второй поезд прибывает в А. Это означает, что первый поезд дополнительно движется 75/60 = 5/4 часа, пока второй поезд едет из точки встречи в А.

Теперь мы можем записать уравнение для времени, которое потребуется каждому поезду, чтобы доехать до своего конечного пункта:

Время первого поезда = Время встречи + Время дополнительного движения первого поезда

Время второго поезда = Время встречи + Время дополнительного движения второго поезда

Так как оба поезда двигаются одновременно после встречи, то время встречи у них одинаковое и равно 5/6 часа. Теперь мы можем записать уравнения:

D/120 = 5/6 + 5/4 (для первого поезда)

D/V2 = 5/6 + 5/4 (для второго поезда)

Теперь мы можем решить оба уравнения.

Для первого поезда:

D/120 = 5/6 + 5/4

Умножим обе стороны на 120:

D = (5/6 + 5/4) * 120

D = (10/12 + 15/12) * 120

D = (25/12) * 120

D = 300 км

Теперь, когда мы знаем расстояние между городами (D = 300 км), мы можем решить уравнение для второго поезда:

D/V2 = 5/6 + 5/4

300/V2 = 5/6 + 5/4

Умножим обе стороны на V2:

300 = (5/6 + 5/4) * V2

300 = (10/12 + 15/12) * V2

300 = (25/12) * V2

Теперь разделим обе стороны на (25/12), чтобы найти V2:

V2 = 300 / (25/12)

V2 = 300 * (12/25)

V2 = 144 км/ч

Итак, скорость второго поезда (из В в А) составляет 144 км/ч.