Question

Существуют ли 6 натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 6, ровно два делятся на 5, ровно три — на 4, . . . , ровно пять — на 2?

Answer 1

Предположим, что такие 6 чисел нашлись.

По условию 5 из них должны делиться на 2, а 4 из них должны делиться на 3. Заметим, что каким бы образом не были выполнены эти условия, найдется хотя бы 5+4-6=3 числа, которые одновременно делятся и на 2 и на 3.

Но если числа делятся и на 2 и на 3, то они делятся на 6. Получается, мы имеем по меньшей мере 3 числа, которые делятся на 6, хотя по условию такое число должно быть ровно одно. Противоречие.

Значит, предположение неверное, и таких чисел не существует.

Ответ: нет, не существует

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое условие отдельно:

1. Ровно одно число делится на 6. Это означает, что одно из чисел - 6 или 12 или 18 и так далее. Пусть это число равно 6.

2. Ровно два числа делятся на 5. Это означает, что два числа - 5 и 10.

3. Ровно три числа делятся на 4. Это означает, что три числа - 4, 8 и 12.

4. Ровно четыре числа делятся на 3. Это означает, что четыре числа - 3, 6, 9 и 12.

5. Ровно пять чисел делятся на 2. Это означает, что все числа, кроме нечетного числа, делятся на 2. Так как уже есть четыре четных числа (2, 4, 6 и 12), то последнее число также должно быть четным, но не делиться на 4 (иначе оно было бы учтено в условии 3). Такое число - 8.

Таким образом, существуют 6 натуральных чисел, которые соответствуют всем указанным условиям: 2, 3, 4, 5, 6 и 8.