Question

Исследуйте функцию на четность f(x) =x^4cos2x​

Answer 1

Основные формулы:

$(-x)^{2n}=x^{2n},\ n\in\mathbb{N}$

$\cos(-x)=\cos x$

Рассмотрим функцию:

$f(x) =x^4\cos2x$

$f(-x) =(-x)^4\cos(2\cdot(-x))=x^4\cos(-2x)=x^4\cos2x=f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) =f(x)$, то функция является четной.

Answer 2

Для исследования функции на четность мы должны проверить, обладает ли она свойством четности. Функция $f(x) = x^4\cos(2x)$ будет являться четной, если выполняется следующее условие:

$f(-x) = f(x)$ для всех значений $x$.

Давайте проверим это условие:

$f(-x) = (-x)^4\cos(2(-x)) = x^4\cos(-2x)$

Теперь сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = x^4\cos(-2x) = x^4\cos(2x)$

Как видно из вышеуказанных выражений, $f(-x) = f(x)$, так как $\cos(-2x) = \cos(2x)$ для всех $x$. Таким образом, функция $f(x) = x^4\cos(2x)$ является четной функцией, так как она удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$.

Графически, четная функция симметрична относительно оси y, что означает, что ее график будет симметричным относительно оси y.