Question

Заданы три точки: А (6;-4) В (8;4) С (-1;6) Найти: а) общее уравнение прямой АВ и ее угловой коэффициент; б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С параллельно и перпендикулярно прямой АВ; в) точки пересечения прямых. Сделать чертеж.

Answer 1

y=kx+b - уравнение прямой  с угловым коэффициентом

Подставим в него координаты точек А и В

А (6;-4)

x=6;  y=-4

-4=k·6+b

В (8;4)

x=8;  y=4

4=k·8+b

Решаем систему двух уравнений и находим k  и  b:

$\left \{ {{-4=6k+b} \atop {4=8k+b}} \right.$

$></p> <p><img src=$

y=2x-16 - уравнение прямой  AB с угловым коэффициентом  k=2

2x-y-16=0  - общее уравнение прямой АВ

б)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты

y=2x+b  - уравнение прямых, параллельных АВ

Чтобы найти прямую, проходящую через точку С подставим координаты точки С

С (-1;6)

6=2·(-1)+b

b=8

y=2x+8  - уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С.

2x-y+8=0 общее уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С.

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

k₁·k₂=-1

k₁=2

k₂=$-\frac{1}{2}$-  угловой коэффициент прямой, перпендикулярной АВ

$y=-\frac{1}{2}x+b$  - уравнение прямых, перпендикулярных АВ

Подставляем координаты точки С:

$6=(-\frac{1}{2}) \cdot (-1)+b$

$b=\frac{13}{2}$

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$ -уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

x+2y-13=0- общее уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

в)

Прямая, параллельная АВ и проходящей через точку С. пересекается с прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С  в точке С.

Значит требуется найти точку пересечения прямой АВ и прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

Решаем систему уравнений:

$\left \{ {{y=2x-16} \atop {y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}}} \right.$

Приравниваем правые части уравнений:

$2x-16=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$

х=9

y=2·9-16

y=2

О т в е т. (9;2)

Answer 2

Давайте начнем с расчета уравнения прямой AB и ее углового коэффициента.

а) Угловой коэффициент (k) прямой AB можно найти, используя следующую формулу:

$k = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A (6,-4) и B (8,4).

$k = \frac{4 - (-4)}{8 - 6} = \frac{8}{2} = 4$

Теперь мы знаем угловой коэффициент прямой AB, и мы можем найти ее уравнение, используя формулу:

$y - y1 = k(x - x1)$

Подставляя координаты точки A (6,-4):

$y - (-4) = 4(x - 6)$

Упрощаем:

$y + 4 = 4x - 24$

Теперь получаем общее уравнение прямой AB:

$y = 4x - 24 - 4$ $y = 4x - 28$

б) Теперь давайте найдем общие уравнения прямых, проходящих через точку C (-1,6), параллельно и перпендикулярно прямой AB.

Для прямой, параллельной AB, угловой коэффициент будет таким же, то есть $k = 4$. Используем точку C (-1,6):

$y - 6 = 4(x + 1)$

Упрощаем:

$y - 6 = 4x + 4$

Получаем уравнение для прямой, параллельной AB:

$y = 4x + 10$

Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB. Угловой коэффициент этой прямой будет обратным и противоположным по знаку, то есть $k = -\frac{1}{4}$. Используем точку C (-1,6):

$y - 6 = -\frac{1}{4}(x + 1)$

Упрощаем:

$y - 6 = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$

Получаем уравнение для прямой, перпендикулярной AB:

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4}$

в) Теперь найдем точку пересечения прямых. Для этого приравняем уравнения двух прямых и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 4x - 28 \\ y = 4x + 10 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x - 28) - (4x + 10) = 0$

Упрощаем:

$4x - 28 - 4x - 10 = 0$

Сокращаем переменные:

$-38 = 0$

Это уравнение не имеет решений, что означает, что прямые $y = 4x - 28$ и $y = 4x + 10$ параллельны и не пересекаются.

Чтобы создать чертеж, построим графики всех трех прямых на координатной плоскости.

1. Прямая AB: $y = 4x - 28$
2. Прямая, параллельная AB: $y = 4x + 10$
3. Прямая, перпендикулярная AB: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{23}{4}$

Чертеж поможет визуализировать их взаимное расположение и отсутствие точек пересечения между первой и второй прямой.