Question

Определите промежутки монотонности функции y=x³+3x²-9x-27​

Answer 1

Ответ:

$y=x^3+3x^2-9x-27$  

Определим промежутки знакопостоянcтва производной функции.

$y'=3x^2+6x-9\ \ \to \ \ x^2+2x-3=0\ \ ,\ \ x_1=-3\ ,\ x_2=1\ (teorema\ Vieta)\\\\znaki\ f'(x):\ \ +++(-3)---(1)+++\\{}\qqiad \qquad \qquad \quad \qquad \nearrow \qquad \qquad \ \searrow \qquad \quad \nearrow$

Функция возрастает на промежутках  $(-\infty ;-3\, ]$  и  $[\ 1\ ;+\infty \, )$  .

Функция убывает на промежутке   $[-3\ ;\ 1\ ]$  .

Answer 2

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 3

Для определения промежутков монотонности функции y = x³ + 3x² - 9x - 27, мы должны найти производную этой функции и найти интервалы, на которых производная положительна или отрицательна.

1. Начнем с вычисления производной функции:

y' = 3x² + 6x - 9.

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить критические точки функции:

3x² + 6x - 9 = 0.

Решим это уравнение:

3x² + 6x - 9 = 0 x² + 2x - 3 = 0.

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

(x + 3)(x - 1) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = -3 и x = 1.

3. Теперь мы можем использовать тест точек, чтобы определить промежутки монотонности. Для этого выберем точки в каждом из трех интервалов: (-бесконечность, -3), (-3, 1), (1, +бесконечность), и вычислим знак производной в каждой из этих точек.

a) Выберем x = -4 (в интервале (-бесконечность, -3)):

y'(-4) = 3*(-4)² + 6*(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15, что положительно.

b) Выберем x = 0 (в интервале (-3, 1)):

y'(0) = 30² + 60 - 9 = -9, что отрицательно.

c) Выберем x = 2 (в интервале (1, +бесконечность)):

y'(2) = 32² + 62 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15, что снова положительно.

Итак, на основе теста точек мы можем сделать следующие выводы о промежутках монотонности функции:

• Функция возрастает на интервале (-бесконечность, -3) и на интервале (1, +бесконечность).
• Функция убывает на интервале (-3, 1).

Это даёт информацию о поведении функции на разных участках её области определения.