Question

Для функцii F(x)= 1/ sin^2x знайдiть первiсну F(x) графік якої проходить через точку (п/4 ; 5)

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб знайти первісну $F(x)$ функції $F(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$, графік якої проходить через точку $\left(\frac{\pi}{4}, 5\right)$, вам потрібно знайти антипохід від цієї функції.

Спочатку пам'ятайте, що $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$. Використовуючи це, можемо переписати функцію $F(x)$ наступним чином:

$F(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} = \frac{1}{(1 - \cos^2(x))} = \frac{1}{(\sin^2(x) + \cos^2(x))} = \frac{1}{\tan^2(x) + 1}$

Тепер ми можемо обчислити антипохід цієї функції:

$F(x) = \int \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \, dx$

Щоб обчислити цей інтеграл, використовуємо підстановку $u = \tan(x)$. Тоді $du = \sec^2(x) \, dx$, і ми отримуємо:

$F(x) = \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du$

Цей інтеграл можна обчислити як арктангенс:

$F(x) = \arctan(u) + C$

Де $C$ - константа інтегрування.

Тепер, підставляючи назад $u = \tan(x)$, маємо:

$F(x) = \arctan(\tan(x)) + C$

Так як $\arctan(\tan(x))$ є функцією, яка приймає значення від $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, ми можемо додати константу інтегрування $C$ та знайти точну формулу:

$F(x) = \arctan(\tan(x)) + C$

Тепер, щоб знайти значення константи $C$, використаємо умову, що графік проходить через точку $\left(\frac{\pi}{4}, 5\right)$. Підставляючи $x = \frac{\pi}{4}$ і $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5$ в рівняння, отримуємо:

$5 = \arctan(\tan(\pi/4)) + C$

Оскільки $\tan(\pi/4) = 1$, то:

$5 = \arctan(1) + C$

Знаючи, що $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, ми можемо знайти константу $C$:

$5 = \frac{\pi}{4} + C$

$C = 5 - \frac{\pi}{4}$

Отже, функція $F(x)$ має вигляд:

$F(x) = \arctan(\tan(x)) + \left(5 - \frac{\pi}{4}\right)$