Question

7tg x-10ctg x+9=0тригонометрические уравнения ,10 класс помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

$7\, tgx-10\, ctgx+9=0\ \ ,\ \ ODZ:\ x\ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n\ ,\ x\ne \pi k\ ,\ n,k\in Z\\\\ctgx=\dfrac{1}{tgx}\ \ \Rightarrow \ \ \ 7\, tgx-\dfrac{10}{tgx}+9=0$

Замена:  $t=tgx\ ,\ \ 7t-\dfrac{10}{t}+9=0\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{7t^2+9t-10}{t}=0\ \ ,$

 $7t^2+9t-10=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=81+280=361=19^2\ ,\\\\t_1=\dfrac{-9-19}{14}=-2\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-9+19}{14}=\dfrac{5}{7}$  

Сделаем обратную замену, перейдём к старой переменной.

$a)\ \ tgx=-2\ \ ,\ \ x=-arctg\, 2+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ tgx=\dfrac{5}{7}\ \ ,\ \ x=arctg\, \dfrac{5}{7}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ x_1=-arctg\, 2+\pi n\ ,\ x_2=arctg\, \dfrac{5}{7}+\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .$

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение. Уравнение имеет вид:

$7 \tan(x) - 10 \cot(x) + 9 = 0$

Для упрощения уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$

Теперь заменим $\cot(x)$ в уравнении:

$7 \tan(x) - \frac{10}{\tan(x)} + 9 = 0$

Умножим обе стороны на $\tan(x)$ для устранения знаменателя:

$7 \tan^2(x) - 10 + 9 \tan(x) = 0$

Теперь это квадратное уравнение относительно $\tan(x)$. Переносим все члены на одну сторону:

$7 \tan^2(x) + 9 \tan(x) - 10 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Давайте обозначим $\tan(x)$ как $t$ и решим уравнение:

$7t^2 + 9t - 10 = 0$

Факторизуем или воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 7$, $b = 9$, и $c = -10$. Подставим значения:

$t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(7)(-10)}}{2(7)}$

Вычислим значение под корнем:

$t = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 280}}{14}$

$t = \frac{-9 \pm \sqrt{361}}{14}$

$t = \frac{-9 \pm 19}{14}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $t$:

1. $t = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$
2. $t = -\frac{28}{14} = -2$

Теперь вернемся к $\tan(x)$:

1. $\tan(x) = \frac{5}{7}$
2. $\tan(x) = -2$

Однако стоит отметить, что значение $\tan(x)$ не может быть равным -2, поскольку $\tan(x)$ ограничен от $-\infty$ до $+\infty$, и нет такого угла, при котором $\tan(x) = -2$.

Таким образом, у нас есть только одно допустимое решение:

$\tan(x) = \frac{5}{7}$

Чтобы найти $x$, используйте арктангенс:

$x = \arctan\left(\frac{5}{7}\right) + n\pi$

где $n$ - любое целое число, так как тригонометрические функции периодичны.