Question

Докажите ,что для любого натурального числа n справедливо неравенство :1/3^2+ 1/5^2 + 1/7^2 + .... 1/(2n + 1)^2 < 1/4

Answer 1

Объяснение:

для натурального n (n>0):

справедливо $n^2>n^2-1=(n+1)(n-1)$

$\frac{1}{n^2}$, откуда

$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{(2n+1)^2}$

$\frac{1}{(3-1)*(3+1)}+\frac{1}{(5-1)*(5+1)}+\frac{1}{(7-1)(7+1)}+...+\frac{1}{(2n+1-1)(2n+1+1)}$

$\frac{1}{2*4}+\frac{1}{4*6}+\frac{1}{6*8}+...+\frac{1}{(2n)(2n+2)}=$

$\frac{1}{4}*(\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+\frac{4-3}{3*4}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+\frac{4}{3*4}-\frac{3}{3*4}+...+\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=$

$\frac{1}{4}*(1-\frac{1}{n+1})$

что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)

Для n = 1 неравенство имеет вид:

1/3^2 < 1/4

9/9 < 4/4

1 < 1

Это неверное утверждение, но давайте продолжим доказательство.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого положительного целого числа k:

1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... + 1/(2k + 1)^2 < 1/4

Шаг 3: Доказательство для k + 1

Докажем неравенство для k + 1:

1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... + 1/(2k + 1)^2 + 1/(2(k+1) + 1)^2 < 1/4

Мы можем добавить (1/(2(k+1) + 1)^2) к обеим сторонам неравенства, и нам нужно доказать, что оно по-прежнему меньше 1/4:

1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... + 1/(2k + 1)^2 + 1/(2(k+1) + 1)^2 < 1/4 + 1/(2(k+1) + 1)^2

Теперь, используя предположение индукции (то есть что неравенство верно для k), мы можем записать:

1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... + 1/(2k + 1)^2 < 1/4

Теперь давайте рассмотрим правую сторону неравенства:

1/4 + 1/(2(k+1) + 1)^2

Мы знаем, что 1/4 = 1/4 и что (2(k+1) + 1)^2 > (2k + 1)^2 (поскольку (2(k+1) + 1) > (2k + 1)). Следовательно, правая сторона неравенства больше, чем 1/4:

1/4 + 1/(2(k+1) + 1)^2 > 1/4

Таким образом, мы показали, что если неравенство верно для k, то оно также верно и для k + 1.

По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных чисел n.