Question

Знайдіть проміжки опуклості та точки перетину ф-ції y=x^2-4cosx

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для ответа необходимо найти вторую производную и найти в каких точках, она равна 0, это будут точки перегиба

формулы (cosx)'=-sinx  (x^a)'=a*x^(a-1)  (sinx)'=cosx

y''=(y')'=(2x+4sinx)'=2+4cosx

2+4cosx=0

cosx=-1/2

x=П+-П/3+2Пk

найдем промежутки выпуклости (вогнутости)

решим неравенство

y''>0

2+4cosx>0

cosx>-1/2

-П+П/3+2Пk<x<П/2+П/6+2Пk

-2П/3+2Пk<x<2П/3+2Пk - кривая вогнута

y''<0

2+4cosx<0

cosx<-1/2

2П/3+2Пk<x<4П/3+2Пk - кривая выпукла

Answer 2

Щоб знайти проміжки опуклості та точки перетину функції $y = x^2 - 4\cos(x)$, спершу візьмемо похідну функції і знайдемо її другу похідну. Проміжки опуклості будуть визначені знаками другої похідної, а точки перетину - шляхом розв'язання рівняння $x^2 - 4\cos(x) = 0$.

1. Знайдемо першу похідну функції $y$: $y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(4\cos(x)) = 2x + 4\sin(x)$

2. Знайдемо другу похідну функції $y$: $y''(x) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(4\sin(x)) = 2 + 4\cos(x)$

Тепер ми можемо визначити проміжки опуклості та точки перетину:

a) Проміжки опуклості:

Проміжки опуклості визначаються знаками другої похідної $y''(x)$. Функція буде опуклою вниз (конкавною вгору), коли $y''(x) > 0$, і опуклою вгору (конкавною вниз), коли $y''(x) < 0$.

Знаки другої похідної залежать від значень $\cos(x)$:

• Якщо $\cos(x) > -\frac{1}{2}$ (наприклад, в інтервалах $(0, \pi/3)$ і $(5\pi/3, 2\pi)$), то $y''(x) = 2 + 4\cos(x) > 0$, тобто функція опукла вгору на цих проміжках.

• Якщо $\cos(x) < -\frac{1}{2}$ (наприклад, в інтервалах $(\pi/3, 5\pi/3)$), то $y''(x) = 2 + 4\cos(x) < 0$, тобто функція опукла вниз на цих проміжках.

b) Точки перетину:

Щоб знайти точки перетину, ми повинні розв'язати рівняння $x^2 - 4\cos(x) = 0$. Це рівняння може бути розв'язано числовими методами або графічно. Рішення цього рівняння може бути складним і точних аналітичних виразів для нього, ймовірно, не існує.

Отже, для знаходження точних значень точок перетину, вам може знадобитися використовувати обчислювальні методи або програмне забезпечення для чисельного розв'язання цього рівняння.