Question

Уравнение y = −5x² + ax + b, где a и b — вещественные числа, а a ≠ b, представляет собой парабола. Если эта парабола проходит через точки с координатами (a, b) и (b, a), определить максимальное значение параболы.​

Answer 1

y = −5x² + ax + b

(a, b):

b = −5a² + a² + b

(b, a):

$\left \{ {{b = -5a^2 + a^2 + b} \atop {a = -5b^2 + ab + b}} \right. \\\left \{ {{-4a^2=0} \atop {a = -5b^2 + ab + b}} \right. \\a=0\\-5b^2 + b=0\\b(-5b+1)=0\\b_1=0\\b_2=0.2$

Если a ≠ b то а=0, b=0,2.

Парабола ветками донизу, тогда $y_0$ будет максимальным значением параболы.

Перепишем уравнение параболы:

y = −5x² + 0,2

Тогда:

$x_0=\frac{-b}{2a} =0$

$y_0=-5x_0+0.2=0.2$

Ответ: максимальное значение параболы равно 0,2.

Answer 2

Для определения максимального значения параболы, нужно найти вершину этой параболы. Вершина параболы с уравнением вида y = ax^2 + bx + c имеет координаты (-b/2a, c - (b^2/4a)). В данном случае, у нас есть уравнение y = -5x^2 + ax + b.

Сравним это уравнение с общим видом y = ax^2 + bx + c:

a = -5, b = a, c = b.

Теперь мы можем найти вершину параболы:

x_v = -b / (2a) = -a / (2*(-5)) = a / 10, y_v = c - (b^2 / (4a)) = b - (a^2 / (4*(-5))) = b - (a^2 / (-20)) = b + (a^2 / 20).

Мы знаем, что данная парабола проходит через точки (a, b) и (b, a). Заменим x и y в уравнении вершины на соответствующие координаты точек:

x_v = (a + b) / 10, y_v = b + (a^2 / 20).

Теперь мы можем найти максимальное значение y_v, которое будет максимальным значением параболы:

y_max = b + (a^2 / 20).

У нас есть условие, что a ≠ b, поэтому a и b различны. Таким образом, максимальное значение параболы будет достигаться в точке с координатами (a + b) / 10 и будет равно b + (a^2 / 20).

Теперь мы знаем, как найти максимальное значение параболы в данном случае.